Главная Об электрических измерениях. Достоинства и недостатки



Поскольку истинное значение измеряемой величины Хц неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. При практических расчетах приходится вместо Хц использовать его оценку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифметическому значению ряда измерений:

X = (Xi + Х2 + ... + х„)/и =

= 1х./„. , (1.7)

J = 1

где Xj - результаты отдельных измерений; и - число измерений.

Теперь аналогично можно определить отклонение результата каждого измерения от среднего значения X как

V. = х. -X, (1.8)

а затем по формуле

о = V (v)Kn- 1) (1.9)

вычислить оценку а значения среднеквадратической погрешности данного ряда измерений. Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка о сходится по вероятности к о. Таким образом.

а ст =

/(«-1). (1.10)

Ввиду того что среднее арифметическое значение х также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения х. Эту величину обозначим символом Стрр. Можно показать, что дпя независимых погрешностей

Значение а характеризует степень разброса х. Как указывалось выше, ЗГвыступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е. является конечным результатом вьтолняемых измерений. Поэтому называют также средней квадратической погрешностью результата

измерений.

На практике значением а, вычисляемым по (1.10), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемого метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдель-



ных измерений мал, т.е. мало значение а. Значение же а, вычисляемое

по (1-11), используется дпя характеристики точности результата измерений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений.

Введем важные понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Как указывалось выше, среднее арифметическое значение 1с, полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения x и, конечно, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть есть вероятность того, что X отличается от не более чем на Д, т.е.

Р(-Д <х -х<А) = Рд

Р(х - А < x <х + А) = Р.

Вероятность Р называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины отх-Ддох+Д - доверительным интервалом.

Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью Рд доверительный интервал от х - Д до х + Д заключает в себе истинное значение х. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать двумя числами - доверительной вероятностью и соответствуюшим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (и < 20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совпадающую с нормальной при больших и, но значительно отличающуюся от нормальной при малых п.

В табл. 1.2 приведены так назьшаемые квантили распределения Стьюдента \t (и) 1, для числа измерений и = 2 -г 30 и доверительных вероят-д

ностей Р = 0,8 -е- 0,99. Более полную таблицу можно найти, например, в [2]. Укажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений и и Р,а для значений т = п-1иа=1-Р, что следует учитывать при пользовании ими. Чтобы определить доверительный интервал, надо дпя данных п и Р найти квантиль \t{n) \р и вычислить величины "

* Д Д



Таблица 1.2. Квантили распределения Сгьюдента

Число изме- Доверительная вероятность Р

рений п

0,95

0,98

0,99

3,08

6,31

12,7

31,8

63,7

1,89

2,92

4,30

6,96

9,92

1,64

2,35

3,18

4,54

5,84

1,53

2,13

2,77

3,75

4,60

1,48

2,02

2,57

3,36

4,03

1,44

1,94

2,45

3,14

3,71

1,42

1,90

2,36

3,00

3,50

1,40

1,86

2,31

2,90

3,35

1,38

1,84

2,26

2,82

3,25

1,37

1,81

2,23

2,76

3,17

1,36г

1,80

2,20

2,72

3,11

1,36

1,78

2,18

2,68

3,05

1,35

1,77

2,16

2,65

3,01

1,34

1,76

2,14

2.62

2,98

1,34

1,75

2,12

2,58

2,92

1,33

1,73

2,09

2,54

2,87

1,31

1.70

2,04

2,47

2,76

которые будут являться верхней и нижней границами доверительного интервала.

Примеры нахождения доверительных интервалов дпя заданной доверительной вероятности приведены ниже. Там же показана одна из наиболее употребительных форм записи результата измерения в виде

а; Д = Д„Л.; Р„ ,

где а - результат измерения в единицах измеряемой величины; Д - погрешность измерения; Д и Д„ - верхняя й нижняя границы погрешности измерения; - доверительная вероятность.

Пример 1. Произведено 17 отсчетов значений измеряемой величины -напряжения (см. ниже). Требуется произвести обработку результатов измерений (предполагая их нормальное распределение). Для этого выбрать доверительную вероятность - 0,95. Систематической погрешностью пренебречь.

1681

1705

1682

1701

1685

1690

1693

1697

1687

1678

1690

1680

1686

1690

1692

1674

1685

/ - номер измерения, - результат измерения. 16



0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114


0.0182