Главная Общая акустика - создание упругих волн



своего порядка. Частная производная по координате по порядку равна тогда отношению наибольшего значения дифференцируемой величины к длине L. Для гармонической плоской волны за характерную длину следует принять величину l/k = Х/2п, где X - длина волны.

Пользуясь этими оценками, можем теперь сравнить между собой различные члены в точных уравнениях гидродинамики и, сохраняя только наибольшие члены, упростить эти уравнения.

Начнем с уравнения Эйлера (П.4). Для звуковых волн р - это избыточное давление по отношению к не входящему явно в уравнение невозмущенному давлению среды Р. Ускорение частиц представлено в (11.4) в виде суммы локального и конвективного ускорений. Согласно сказанному выше локальное ускорение по порядку величины равно v/T, где v- наибольшее значение скорости частиц, а конвективное ускорение также по порядку величины равно y/L. Значит, отношение конвективного ускорения к локальному равно по порядку величины vT/L. Но vT - и есть путь, проходимый частицами со скоростью v за характерный промежуток времени Т, т. е. по порядку и - наибольшее смещение частиц в волне. Отсюда следует, что отношение конвективного ускорения к локальному равно отношению u/L наибольшего смещения частиц к характерному размеру волны. Таким образом, если смещения частиц малы по сравнению с характерным размером волны, u/L < 1, то конвективное ускорение мало по сравнению с локальным. Тогда можно пренебречь конвективным ускорением, и уравнение (11.4) примет вид

PW + P=- (-

Далее, в этом уравнении плотность также есть переменная величина, отличная от плотности рц невозмущенной среды:

р = Ро (1 + S).

Но при u/L С 1 акустическое сжатие по порядку величины также не более u/L. Поэтому в приближенном уравнении можно, не меняя степени точности, пренебрегать отличием фактической плотности от невозмущенного значения ро; уравнение (13.1) принимает тогда вид (нуль в индексе для простоты записи опущен)

p + Vp=0. (13.2)

Уравнение (13.2) линейно относительно величин р я v. Упрощение в том и состоит, что приближенное уравнение оказывается линейным по отношению к интересующим нас величинам. Для этого, как мы видели, достаточно отбросить в уравнении члены порядка u/L (и высшего порядка) по отношению к сохраняемым, порядок которых принят за единицу.



уравнение (13.2) справедливо с указанной точностью как для однородных, так и для неоднородных сред. В последнем случае невозмущенное значение плотности есть функция координат точки и (13.2) есть уравнение с коэффициентами, зависящими от координат.

Очевидно, при ulL < 1 можно заменять полную производную любой величины, характеризующей частицу жидкости, локальной производной - частной производной по времени; выше это было сделано для скорости частиц. В этом приближении дифференциальные и интегральные (по времени и координатам) операции над величинами, характеризующими частицу, независимы и, в частности, можно менять порядок дифференцирования и интегрирования по времени и по координатам. Проинтегрируем по времени уравнение (13.2) и сделаем перестановку порядка интегрирования (по времени) и дифференцирования (по координатам):

v-va = - •

S/pdt=-- V put.

,- rO f-

ta to

Здесь Vq-скорость частицы в начальный момент времени t. Мы видим, что, в отличие от ускорения, скорость частицы в данный момент зависит не только от распределения давления в среде в этот же момент, но и от всей истории частицы. Если в начальный момент частица покоилась, то

v=- - W.{pdt. (13.3)

Для одномерного движения

1 д

Ро дх

\pdt.

Если среда однородна, то (13.3) можно записать в%иде

v= -V

- \pdt

и, следовательно, движение потенциально и потенциал скоростей есть

9 = --Jpd. (13.4)

В свою очередь давление и скорость частиц выражаются через потенциал формулами

Р = -Ро-. -0 = . (13.5)



Теперь линеаризуем уравнение неразрывности (11.5), считая, как И; выше, что ulL < 1. В подробной записи имеем

V (рг>) = V (Ро (1 + s) г>} = V(Ро©) + V(Ро SV).

Так как s по порядку не больше u/L, то вторым членом справа можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда придем к упро-ш,енномууравнению

+PoVtt + Wpo = 0.

В среде с постоянной невозмущенной плотностью это дает

f-+PoVtt = 0. (13.6)

В дальнейшем часто будем характеризовать изменяющееся состояние среды не плотностью, а сжатием; например, (13.6) можно записать в виде

-fVtt = 0. (13.7)

Уравнение состояния, т. е. зависимость между давлением и сжатием, также можно линеаризовать для любых сред, кроме, как мы уже говорили, сред типа порошка. Линеаризуя уравнение (11.8), получим уравнение состояния в виде

s = Pp. (13.8)

Система уравнений (13.2), (13.7), (13.8) - полная система линеаризованных уравнений акустики.

Сжимаемость р можно представить в виде

причем производная берется для невозмущенного состояния среды. Мы видели в § 9, что сжимаемость связана со скоростью плоской волны в среде соотношением

р = 1/рЛ (13.10)

так что уравнение (13.8) можно переписать в виде

s = -.P. (13.11)

Линеаризованную связь между давлением и сжатием можно рассматривать как обобщенный закон Гука для объемного сжатия среды с модулем упругости /С = рс** = Щ. В следующем параграфе мы найдем, как связана сжимаемость со статическими свойствами среды.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0169