Главная Общая акустика - создание упругих волн



оба значения равновероятны. Для двух излучателей теорема очевидна. В самом деле, возможны следующие равновероятные комбинации фаз обоих излучателей: плюс-плюс, плюс-минус, минус-плюс, минус-минус. Примем мощность излучения отдельного излучателя за единицу. Тогда мощность первой и последней комбинаций равна 4, а мощности второй и третьей - нулю. Среднее значение по всем четырем возможным комбинациям действительно равно в этом случае 2.

Теорему для любого числа излучателей докажем методом индукции. Допустим, что утверждение верно для группы, из некоторого числа излучателей. Если для какого-либо из комбинаций фаз разность числа излучателей с положительной и с отрицательной фазой равна п, то излучаемая мощность для этой комбинации равна п. Добавим к группе еще один излучатель, фаза которого также с одинаковой вероятностью может принимать значение О и значение л. Если дополнительный излучатель имеет фазу О, то мощность излучения увеличенной группы станет равна (п + 1) = + 2п -f 1; если он имеет фазу л, то мощность излучения станет равна {п- 1) = - 2л + 1- Полусумма этих выражений равна 4- 1, и, значит, среднее изменение излучае- мой мощности при добавлении к данной группе еще одного излучателя равно единице, какова бы ни была исходная комбинация •фаз в группе. Поэтому и добавка к средней мощности, рассчитанной по всем возможным комбинациям фаз, также равна единице, что и доказывает сделанное утверждение.

§ 98.; Монополь в волноводе

Найдем теперь, как работает монополь, помещенный в волновод. Ограничимся случаем абсолютно жестких стенок и примем, что сечение волновода прямоугольное, со сторонами /ii и /ig.

В предыдущем параграфе мы видели, что излучаемая мощность монополя сильно меняется, даже если вблизи него расположена только одна стенка, так как тогда монополь работает дополнительно «против» давления, создаваемого звуком, отраженным от стенки. На большом расстоянии стенка практически не меняет работы монополя. В волноводе с прямоугольным сечением моно-полю приходится работать против давления, создаваемого бесчисленными отражениями прямого звука от всех четырех стенок волновода. Поэтому влияние волновода на работу монополя оказывается более сильным, чем влияние одной стенки, и, главное, это влияние сохранится и для широких волноводов при большом расстоянии излучателя от стенок.

Примем плоскость поперечного сечения, в котором расположен монополь, за плоскость л; = О и обозначим координаты монополя в плоскости x = О через Уо и Zq. Плоскость х = О есть плоскость симметрии создаваемого звукового поля. Поэтому в каждом полуволноводе поле можно представить в виде одинаковой



системы нормальных волн, убегающих от сечения х = О вправо и влево, а монополь можно заменить жестким экраном, перегораживающим волновод по плоскости л; = О, на котором задано распределение л;-компоненты скоростей в виде б-функции

со стороны, обращенной вправо, и

=--yV8{y-yo)8iz-Zo)

со стороны, обращенной влево. Следуя § 76, разложим эти распределения .«-компоненты скоростей частиц по плоскости л; = О в двойные ряды Фурье справа и слева:

±~V8{y-yo)8{z - Zo) =

= + л-б,., ros-coscos-?i?cos-

Верхний знак соотвеГствует правому полуволноводу. «Пристраи-в1ая» к каждому слагаемому соответственную нормальную волну, убегающую от монополя (однородные волны) или убывающую в направлении от источника (неоднородные волны), получим следующие выражения для создаваемых в волноводе нормальных волн:

Poo = -?{±ikx), (98.1)

X cos cos cos Jicos-x

X ехр [±iky\ - {lizilkhif - {knlkhf x\. (98.2)

Будет ли волна данного номера распространяющейся или неоднородной - определяется для данного волновода только частотой излучения и не зависит от положения монополя в волноводе. Но степень возбуждения, т. е. амплитуда нормальной волны, от этого положения зависит для всех волн (кроме нулевой) и может изменяться от нуля (при помещении монополя в узел распределения давления нормальной волны) до максимального значения (в пучности распределения). Максимальная степень возбуждения распространяющихся волн по мере увеличения номеров растет, а степень возбуждения неоднородных волн падает. Амплитуда данной распространяющейся нормальной



волны с ростом частоты убывает, а амплитуда неоднородной волны растет. Общее правило для распространяющихся и неоднородных волн -увеличение степени возбуждения по мере приближения к критической частоте. При частоте ниже критической для волн номеров (О, 1) и (1, 0) распространяется только одна нулевая нор-

мальная волна.

Нормальные волны, создаваемые в волноводе монополем, можно интерпретировать еще и по-другому. Одна стенка равносильна появлению мнимого излучателя. Вторая стенка вызывает появление еще одного мнимого излучателя; кроме того, оба эти

мнимых излучателя, отвечающие двум первым отражениям прямого звука, отражаются в свою очередь в противоположных стенках. Это дает, помимо однократных первых отражений, мнимые излучатели, соответствующие двукратным отражениям - по разу от каждой стенки. Точно так же появляются мнимые излучатели, соответствующие трехкратным, четырехкратным и т. д. отражениям от стенок. Эти отражения создадут периодическую цепочку излучателей с периодом, равным двойному расстоянию между стенками. Кроме того, отражения во второй паре стенок всей этой цепочки приведут окончательно к появлению двоякопериоди-ческой решетки излучателей с периодами 2/ii и Uh.

Таким образом, формулы (98.1) и (98.2) дают также поле, создаваемое в неограниченной среде такой двоякопериодической решеткой излучателей. Отсюда следует, в частности, что если периоды подобной решетки, помещенной в неограниченную среду, меньше длины волны, то такая решетка ничего не излучает, кроме «нулевого спектра» - плоской волны, распространяющейся перпендикулярно к плоскости решетки. Никаких боковых спектров такая решетка создать не может (см. § 35).

Поле бесконечной цепочки, естественно, сильно отличается от поля одного монополя в неограниченной среде. Поэтому мы можем ожидать, что мощность излучения данного монополя еще сильнее изменится при помещении его в волновод, чем при помещении вблизи стенки. Кроме того, излучаемая мощность может зависеть и от положения монополя в волноводе. Рассчитаем эту мощность.

Излучаемая мощность определяется только распространяющимися волнами, а в силу ортогональности волн разных номеров мощности, уносимые отдельными волнами, аддитивны. Нулевая волна переносит мощность

« = 1-1Р (98-3)

(в обе стороны). Замечательно, что эта величина не зависит ни от положения монополя, ни от частоты излучения." Она равна половине мощности, излученной в виде плоской волны поршнем, закрывающим волновод, для которого произведение площади на линейную скорость равнялось бы объемной скорости данного

И М. А. Иеакович 321



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0119