Главная Общая акустика - создание упругих волн



в настоящее время большое внимание уделяется вопросу об определении характеристики направленности различных сложных излучателей по измерениям их поля вблизи излучателя: такие измерения, естественно, проще, чем измерения на большом расстоянии, где характеристика уже образовалась. Рассмотренный пример показывает трудность этой задачи: малые погрешности измерения ближнего поля давлений данного излучателя могут привести к резкому отличию расчетной характеристики направленности от фактической.

§ 102. Присоединенная масса диполя. Сила диполя

Найдем, с какой силой нужно действовать на безмассовую сферу данного радиуса а, чтобы сообщать ей данную скорость и. Требуемая сила - это взятая с обратным знаком реакция среды на движущуюся сферу, и ее можно найти непосредственно, интегрируя давление, создаваемое сферой, по всей ее поверхности. Преобразуя (101.4), найдем давление на поверхности сферы в виде

p = p„=il»?±fia±(eose. (102.1)

Вследствие симметрии поля достаточно учитывать только составляющую сил давления вдоль оси диполя: перпендикулярные к оси симметрии компоненты сил давления взаимно уничтожаются. Искомая сила, с которой C(J)epa действует на среду, найдется по формуле

cose dS.

где интегрирование распространено на всю поверхность S с()еры. Реакция среды на сферу равна, очевидно, -Ф.

Поскольку давление одинаково во всех точках одной параллели (0 = const), в качестве элемента интегрирования можно взять полоску между двумя близкими параллелями, считая переменной интегрирования полярный угол. Площадь такой полоски равна 2ла sin е dQ. Следовательно, результирующая сила есть

Ф = 2яа2 j Рг=а COS е Sin е de = о

--napcu 4 + (ka) ("-



Отсюда находим механический импеданс безмассовой сферы, погруженной в жидкость:

= -парс

- i[2ka+(kaY]-\-{kttY 4 + {ka)

(102.3)

Импеданс оказался комплексным: сила по фазе отличается от скорости. Реактивная часть импеданса отрицательна и, следовательно, импеданс имеет массовый характер. Соотношение между реактивной и активной частью импеданса зависит от соотношения

между радиусом сферы и длиной волны звука, т.е. от величины ka.

На рис. 102.1 показана зависимость реактивной и активной части величиныФ/(*/зяарси) от ka. В предельном случае ka > 1 (малая длина волны) реактивная часть механического импедансаФ/й стремится к нулю, а активная часть стремится к (*/з)яарс, что соответствует механическому импедансу при поршневом излучении плоской волны споршня площади (*/з)яа, равной /з общей поверхности осциллирующей сферы. Напомним, что для пульсирующей сферы большого радиуса соответственная величина равнялась всей площади поверхности сферы. Различие объясняется тем, что нормальные скорости частиц на поверхности осциллирующей сферы убывают от полюсов к экватору (ср. § 97).

Практически наиболее важен противоположный предельный случай - малый радиус сферы по сравнению с длиной волны (ka 1). В этом случае в самом первом приближении, пренебрегающем сжимаемостью среды.


Рис. 102.1. Вещественная и мнимая части относительного импеданса сферы А = Ф1(*1з парси). Максимальное значение мнимой части равно I/ У2 и достигается при ka= Y2. Вещественная часть стремится к единице при ka-oo.

Ф = - * яарой = - i- р(йМ,

(102.4)

Пока нас интересует только модуль силы, погрешностью, обусловленной отбрасыванием членов высших порядков по малой величине ka, можно пренебрегать.

Отметим, что скорости частиц вблизи сферы практически одинаковы при наличии и при отсутствии сжимаемости, а плотность кинетической энергии вблизи сферы в сжимаемой среде велика по сравнению с плотностью потенциальной энергии (потенциальная энергия равна нулю при отсутствии сжимаемости).

Если масса сферы отлична от нуля и равна, например, р., то для сообщения сфере той же колебательной скорости потребуется



добавить к силе Ф еще силу, равную массе сферы, умноженной на ее ускорение, т. е. силу, сообщающую ту же скорость сфере вне среды.

Следовательно, результирующая сторонняя сила Ф*, сообщающая погруженной сфере массы р скорость и; должна быть равна

ф* = ф 1©ир = - гши ((А -j- -- яа*р = - дай • -- яа (р -j- 2pi),

где pi - плотность материала сферы.

Таким образом, в динамическом отношении погружение осциллирующей сферы в несжимаемую жидкость как бы увеличивает массу сферы на величину (/3) яар, равную массе среды в половинном объеме сферы. Эту эффективную добавку к массе называют присоединенной массой осциллирующей сферы. Кинетическая энергия присоединенной массы, колеблющейся со скоростью и, равна, как легко проверить, кинетической энергии несжимаемой жидкости при колебании погруженной в нее сферы со скоростью и. Динамическое поведение погруженной сферыпри осцил-ляциях таково, как если бы на нее навесили Эту присоединенную массу.

Аналогично, хотя и более сложно влияет реакция среды и на тела другой формы (см. § 106). Собственная частота колебаний груза, закрепленного на пружине, понижается при погружении груза в жидкость, и по изменению частоты можно найти присоединенную массу. Аналогично меняется частота колебаний маятника данной длины при погружении в среду. При точных определениях силы тяжести по наблюдению качаний маятника присоединенную массу воздуха приходится учитывать; по сравнению с качаниями в вакууме период колебаний маятника в воздухе увеличен.

Мы нашли силу, с которой следует действовать на малую сферу в несжимаемой среде, чтобы сообщить ей данную колебательную скорость. Учет сжимаемости, как сказано выше, почти не меняет силу. Поэтому можно найти излученное поле, пользуясь пай-денным значением силы для несжимаемой среды, в которой излучения нет. При помощи уравнений (100.3) и (102.4) можно выразить поле малой осциллирующей сферы через силу Ф или силу Ф*:

ikr „ glkr

р = -ЗФу = -ЗФ*-у.

Если плотность материала сферы равна плотности среды (так будет, если сфера образована «замороженным» участком среды), то сторонняя сила, которую будем в этом случае обозначать через F, равна

/=ЗФ = -ipcoAf = -/рсй.2яав, (102.5)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.046