Главная Общая акустика - создание упругих волн



Часто удобно, исключая сжатие из (13.7) и (13-8), свести полную систему уравнений акустики к двум уравнениям. Первое из них- по-прежнему уравнение (13.2), а второе принимает вид

P-+Vtt = 0. (13.12)

Любое частное решение уравнений (13.2) и (13.12) есть свободная волна в среде.

Уравнения (13.2) и (13.12) - полная система линейных общих уравнений акустики для давления и скорости частиц. Мы видим, что среды можно отличить друГот друга акустическим способом, только если их плотности или сжимаемости не одинаковы.

Во всем дальнейшем мы будем пользоваться этой полной системой, решения которой тем меньше отличаются от соответственных решений точных уравнений гидродинамики, чем меньше величина ulL. В плоской волне критерий ulL < 1 совпадает с критерием малости сжатия (s < 1) и с критерием малости числа Маха (М = vie С 1). Действительно, в плоской бегущей волне отношение LIT равно скорости звука, и следовательно, ulL = vie = = s = М- Оба критерия совпадают по порядку во всех случаях, когда звуковое поле похоже на плоскую волну.

Но иногда требование М <С 1 оказывается недостаточным: число Маха и сжатие среды могут быть малыми, в то время как смещения частиц не будут малы по сравнению с характерным размером движения жидкости. Это получится, если пространственная неоднородность поля определяется не волновым характером процесса, а геометрией задачи. Таково, например, движение в сферической волне вблизи центра (расхождение волны) или протекание жидкости в трубе переменного сечения. В этих случаях масштаб пространственной неоднородности не зависит от скорости звука и сохранился бы даже при полной несжимаемости среды. При таких движениях конвективная производная может не быть малой по сравнению с локальной производной даже при малом числе Маха: поле быстро меняется в пространстве независимо от скорости временного изменения. Особенно нагляден пример установившегося протекания жидкости в трубе: локальная производная любой величины, характеризующей течение, равна нулю во всех точках, а конвективная производная отлична от нуля: критерий малости числа Маха при малой скорости течения будет выполнен, но критерий ulL < 1 нарушится и линеаризацию уравнений произвести будет нельзя. Только требование ulL <С 1 универсально для любой формы волны и для любой сжимаемости среды.

Уравнения (13.2) и (13.12) применимы не только к однородным средам, но и ко всем средам, свойства которых изменяются от точки к точке непрерывно. В уравнении движения (13.2) важно только, какова плотность данной частицы, а плотность других частиц несущественна. Аналогично в уравнении (13.12) важна сжимаемость среды только в данной точке.



Мы установили ограничение величины возмущения сверху, позволяющее линеаризовать уравнения гидродинамики. Но в акустике появляется дополнительное ограничение величины возмущения, относящееся к применимости самого понятия сплошной непрерывной среды. Это требование ограничивает величину возмущения снизу. В самом деле, требования применимости картины непрерывной сплошной среды всегда включают масштаб движений. Одним из масштабов движения в акустике является длина волны звука. Человек ведет разговор на звуковых волнах, длина которых варьирует от 10 см до 4 м; высокочастотные эхолокационные сигналы летучих мышей имеют длину волны в несколько миллиметров. По отношению к этому масштабу все среды всегда можно считать сплошными и непрерывными, за исключением только сильно разреженных газов, в которых велика длина свободного пробега молекул.

Но в акустике есть и другой пространственный масштаб: смещение частиц в волне. Обращаясь к этой величине, мы, оставаясь целиком в области классической физики, попадаем в микромир.

В самом деле, возьмем для определенности звук в воздухе при частоте, для которой слух человека наиболее чувствителен, - 2000-3000 ГЦ. На «болевом пороге» - при воздействии мощного звука, слуховое восприятие которого сопровождается болевыми ощущениями,- смещения частиц достигают 0,1 мм и амплитуда скорости частиц доходит до 1 ы/сек. Но громкий разговор на расстоянии 1 м от говорящего человека создает колебания с амплитудой всего в сотню-другую ангстрем (3-4% длины световой волны), причем скорость частицы меньше 1 м в час. Наконец, при едва слышном звуке на «пороге слышимости» молодого человека (с возрастом слух ухудшается) частицы среды колеблются с амплитудой около 5 • 10"" см и с амплитудой скорости около 2 м в год (амплитуда звукового давления 3-10"* бар). Заметим, впрочем, что ускорения частиц, даже при очень слабых звуках, не. так уж малы по обычным масштабам: даже на пороге слышимости ускорение частиц достигает примерно 1 мм/сек (при болевом пороге ускорение очень велико: ohoi доходит примерно до lOOOg, т. е. до 10 км/сек!).

Естественно возникает вопрос: каким же образом можно воспринимать такие слабые звуки ? Ведь даже обычные тепловые движения молекул в огромной степени превосходят движения частиц. В самом деле, на пороге слышимости смещения частиц в звуковой волне на четыре порядка мень ше длины свободного пробега молекул в атмосферном воздухе, а скорость частиц на девять порядков меньше скорости мо.лекул. Почему же тепловое движение молекул не маскирует слабых акустических движений частиц? Почему мы не слышим тепловое движение молекул?

Дело в том, что тепловое движение молекул хаотично. И хотя каждая молекула за период звука пробегает большое расстояние, в целом тепловое смещение частицы, состоящей из огромного числа



молекул, мало даже по сравнению с ничтожными звуковыми смещениями. В самом деле, для восприятия звука важно, как ведет себя в наружном звуковом канале уха воздух, соприкасающийся с барабанной перепонкой; этот объем Q воздуха по порядку составляет 1 см. Центр тяжести такого объема совершает в звуковой волне регулярные звуковые колебания (это интересующая нас величина) и беспорядочно колеблется вследствие теплового Движения составляющих его молекул (это «помеха»). Колебание центра тяжести данного объема воздуха в результате теплового движения составляющих его молекул аналогично броуновскому движению посторонней частицы в газе. Это - результирующее движение, вызываемое огромным числом отдельных толчков. Сравнивать с акустическим движением данной частицы среды следует не движение отдельной молекулы, а именно броуновское движение этой же частицы, т. е. макроскопического объема воздуха, малого по сравнению с длиной волны звука. При этом звуковое движение частицы следует сравнивать с той частью броуновского движения, частотный спектр которой воспринимается слухом так же, как и данный звук. Это значит, что с амплитудой звукового смещения следует сравнивать броуновское смещение за один период звука.

В силу хаотичности молекулярного движения, как известно, броуновское смещение какого-либо объема газа уменьшается при увеличении числа составляющих его молекул как едич.-., поделенная на корень квадратный из числа молекул, а растет к..к корень квадратный из истекшего времени. Пусть длина свободнсго пробега одной молекулы равна /, а среднее время между соударениями равно т. Тогда среднее смещение объема Q за время т составит I/у QN, где N - число молекул в единице объема. Нас интересует смещение объема за время одного периода колебаний Т": оно будет больше полученной величины в YTH раз и состаг IYTIiQN. Но время между соударениями в среднем рав э длине свободного пробега, разделенной на скорость молекул, которую можно приближенно положить равной скорости звука в газе с. В результате получим для броуновского смешения L за время, равное периоду:

L = У IcT/QN.

Подставляя сюда округленные значения N = 2,7-10, с = 3 X X 10* см/сек, Q = 1 см, / = 10" * см (для воздуха при нормальных условиях), получим L «=> 10""" У Т см, что дает для частоты 2-3 КГЦ примерно 2-10" см. Таким образом, броуновское движение еще не маскирует звук даже на пороге слышимости. Физиологический аппарат слуха ставит для человека и животных границу там, где тепловое движение частиц воздуха еще не сказывается; но «запас» совсем невелик: будь ухо на несколько порядков чувствительнее (а диапазон чувствительности уха от болевого порога до порога слышимости по мощности и так превышает



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0082