Главная Общая акустика - создание упругих волн



Соответственное значение радиальной скорости найдется по формуле

»г = --7г

1 д

р дг 3

pdt =

(-) +

г дМ (t - г/с)

1 f« dM(t-r/c)

+ 2 с» .

cose. (105.2)

Как и в гармоническом случае, можно показать, что поле (105.1) можно получить в результате осцилляции твердой сферы. Как легко найти из граничных условий, соответственная скорость сферы радиуса а равна

а дМ (t - а/с) с dt

1 аШ,(< -а/с)

2 са

Сила, С которой такая сфера действует на среду, найдется, снова аналогично случаю гармонического диполя, по формуле

Ф = 2яа* j р cos 9 sin е de = р

аМ(< -а/с) , а dm(t-alc) dt "1" с df>

При достаточно малом радиусе сферы, т. е. таком радиусе, при котором последующие члены разложений по а/с малы по сравнению с предыдущими, формулы можно упростить, ограничиваясь только старшими членами по отношению к радиусу сферы. С точностью до членов, содержащих а/с в степени не вышсччетвертой, скорость сферы равна

и(0 = -

2яаз

дМ (t) dt

1 а» dM(t) 6 с» dt

Отсюда с такой же точностью найдем /[i(t) = 2na\u(t)-{y-X

а» du(t) с» dt

а также

Ф (О = 4 Р

du(t) . I

a« d*u(t) 2 dt*

В выражении для Ф первые два члена в скобках соответствуют реактивной нагрузке: их работа в среднем за достаточно большой промежуток времени равна нулю. Последний член в скобках дает активную часть нагрузки: его работа составляет излученную



энергию. Излучаемую мощность можно записать в таком виде

, 1 а

Р«(0

Если излучение длилось в течение ограниченного времени, то полная излученная энергия равна

со W

du(t)

Главный член реактивной нагрузки обусловлен присоединенной массой: он равен массе среды в половинном объеме сферы, умноженной на ускорение сферы. Эта часть нагрузки сохранится в несжимаемой жидкости, в которой активный член и излучаемая мощность обратятся в нуль. Если пренебрегать активной нагрузкой, то придем к приближенным формулам, пригодным с большой точностью при движении малой сферы:

M{t)2nau{t),

Можно ввести и «силу диполя» F как силу, сообщающую скорость и «замороженной» сфере, выделенной в данной среде. Как и для гармонического случая, найдем

= ЗФ = р.

Следовательно, звуковое поле негармонического диполя можно записать в виде

а F(t~rlc) р д

Aztr

дМ (t - г/с) dt

ИЛИ в векторной форме:

дМ (t - г/с) I

§ 106. Осцилляции и излучение звука малым твердым телом под действием сторонней силы -

В предыдущих параграфах мы изучили излучение, создаваемое малой жесткой сферой, осциллирующей в жидкости с заданной скоростью. Мы показали также, что при нахождении движения сферы заданной массы влияние реакции среды можно учесть, добавляя к фактической массесферы «присоединенную массу».



Поставим теперь те же задачи для малого тела произвольной формы: определим его излучение, если известна скорость его осцилляции, и найдем скорость осцилляции тела, если известна сторонняя сила, на него действующая. Решив эти две задачи, мы сможемнайти излучение, создаваемое малым твердым телом, на которое действует заданная сторонняя сила. Движение среды вокруг движущегося тела произвольной формы не удается найти в явном виде, как мы это сделали для сферы. Поэтому обе поставленные задачи допускают только частичное решение.

Для решения поставленных задач не требуется знать движение среды во всех деталях: достаточно знать реакцию среды на движение тела. Так же как и для малой сферы, реакция среды на движение малого тела любой формы практически не зависит от сжимаемости среды. Поэтому при определении этой реакции будем считать среду несжимаемой, а излучение будем находить косвенным образом - по модулю силы, с которой тело действует на среду.

Как мы видели выше, для определения реакции среды на заданное движение сферы достаточно знать только одну величину: присоединенную массу среды. Для тела любой другой формы такой одной величины нет: реакция среды существенно зависит от формы тела и от его ориентировки относительно направления его движения. Так, при движении плоской фигуры плашмя реакция велика, а при движении ребром - мала. Покажем, что реакцию при движении по любому направлению для тела любой формы можно найти, если знать шесть величин, зависящих от формы этого тела. Рассмотрим этот вопрос в общем виде.

Пусть в несжимаемой среде, покоящейся на бесконечности, данное твердое тело совершает гармонические колебания *) вдоль какой-либо прямой. Как известно из гидродинамики, движение, возникающее в идеальной несжимаемой жидкости при перемещении в ней твердого, тела, является потенциальным и полностью определяется скоростью тела в данный момент. При этом амплитуда колебаний частиц среды пропорциональна амплитуде скорости колебаний тела и не зависит от частоты: компоненты скорости частиц являются линейными однородными функциями компонент скорости тела с коэффициентами, зависящими от координат частицы. Следовательно, кинетическая энергия среды - однородная квадратичная функция компонент скорости тела.

В дальнейшем удобно пользоваться тензорными обозначениями. Пусть скорость тела есть вектор Ыу. Кинетическую энергию среды можно записать в виде

Т = ajiUjUi.

*) Пользуясь результатами предыдущего параграфа, нетрудно провести все рассмотрение и для произвольного движения тела.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0114