Главная Общая акустика - создание упругих волн



Коэффициенты зависят от формы и величины тела и от направления выбранных осей и пропорциональны плотности среды. Обозначая й/, + с,/ = р./,, можем переписать эту формулу в виде

Так как кинетическая энергия среды инвариантна по отношению к преобразованию координат, а вектор U/ произволен, то система коэффициентов р/, образует тензор. Очевидно, тензор р,, симметричен и, следовательно, определяется шестью величинами. Его называюттензорол присоединенных масс тела. Будем считать, что тензор присоединенных масс для данного тела известен. Для

частного случая сферического твердого тела тензор присоединен-

ных масс - диагональный тензор бд--яср; его диагональные

компоненты по любой оси равны присоединенной массе сферы.

Зная тензор присоединенных масс, можно найти силу Ф/, с которой тело, движущееся с данным ускорением, действует на среду. Действительно, работа этой силы должна равняться приращению кинетической энергии среды (внутренняя энергия несжимаемой среды не меняется). Мощность силы равна Ф/и. Приравнивая ее производной по времени от кинетической энергии, получим

где щ - вектор ускорения тела. Так как ы,- - п-роизвольный вектор, то, согласно известной теореме векторной алгебры, должно быть

Реакция среды на тело равна -Фу = -И- "/-

Пусть масса тела, совершающего"данное движение, равна р,. Очевидно, сторонняя сила Ф/, сообщающая погруженному телу данное ускорение, сложеннаяс реакцией среды, равна массе тела, умноженной на ускорение: Ф* - р. Ы/ = р.ы/. В более симметричном виде это равенство можно записать так:

ф; = (xб,•,-f (106.2>

где Ьц - единичный тензор.

Тензор -\- [iji можно назвать тензором эффективной массы тела.

Уравнение (106.2) выражает равенство сторонней силы Ф;, действующей на тело, произведению тензора эффективной массы на вектор ускорения тела; (106.2) есть обобщениевторого закона Ньютона на тела, погруженные а жидкость: реакция среды приводит к тому, что эффективная масса приобретает тензорный



характер. Для погруженной сферы эффективную массу можно по-прежнему рассматривать как скаляр.

Если плотность тела равна плотности среды, то сторонняя сила, сообщающая телу данное ускорение, равна

Ф; = (рЙб/, + Ц;)ы„ (106.3)

где Q - объем тела. Но в этом случае можно считать, что сила приложена прямо к среде, иследовательно, Ф* есть сила диполя Fj. Отсюда следует, согласно (102.7), что в среде создастся излучение

p = -,(pQ6,, + M"/-£- (106.4)

Теперь решим обратную задачу: найдем движение, совершаемое данным телом под действием заданной сторонней силы. Воспользовавшись (106.4), мы сможем после этого решить и задачу об излучении, создаваемом телом под действием данной сторонней силы.

Итак, пусть на данное тело действует сторонняя сила ф). Неизвестные компоненты ускорения тела под действием этой силы найдем из уравнений (106.2). В тензорных обозначениях решения этих уравнений записываются очень просто при помощи тензора Пц, обратного тензору эффективной массы. Этот обратный тензор определяется соотношениями

И„/ + г„/)!кса = б . (106.5)

Умножая уравнение (106.2) на найдем неизвестные ускорения в виде

и = ф]п;. (106.6)

Отсюда, согласно (106.3), найдем силу диполя Ff.

F/= (pQ6;„-f ц/а) Ф;п„. (106.7)

Наконец, подставляя в (106.4), найдем и излучаемое поле:

р = - (pQ6y„ + Ф\щ, (106.8)

Пользуясь (106.5) и (106.6),можно переписать выражение для силы диполя так, чтобы рольра"зличия в массе тела и массе вытесняемой им жидкостивыступилаболее наглядно. Действительно,

Fj = (fi6/e + п„гФ; + (pQ - [г) буаП„гФ; =

= 6 Ф* + (рЙ -?г)Ф1пф

И окончательно

/ = Ф; + (рЙ-ц)ыу. (106.9)



или в векторной форме

F = 0* + {pQ - \i)u, (106.10)

Полученные формулы решают все поставленные задачи до" конца, за исключением одного пункта; как же найти тензор присоединенных масс для тела данной формы? Общего ответа на этот вопрос дать нельзя. В этом и заключается смысл сделанной выше оговорки о частичном решении поставленной задачи. Для некоторых простейших форм тела - сферы, эллипсоида, тонкого ди-. ска - аналитические выражения для компонент тензора получить удается, но для любой формы тела задачу решить можно только приближенно, при помощи численных методов, либо экспериментально, определяя ускорение тела, погруженного в данную среду, при воздействии известной силы.

Из полученных формул следует, что векторы сторонней силы, силы диполя и ускорения тела вообще не совпадают по направлению. Из (106.9) или (106.10) видно, что при равенстве массы тела массе вытесняемой им жидкости сила диполя совпадает со сторонней силой; но даже в этом случае ускорение тела вообще направлено не по оси диполя. В общем случае произвольной [формы и любой массы тела все три вектора совпадают по направлению только для трех взаимно перпендикулярных направлений действия сторонней силы - главных направлений тензора присоединенных масс. Для этих направлений (обозначим соответственные оси через Xi, х и Хз) отличны от нуля только диагональные компоненты тензора присоединенных масс; будем обозначать их соответственно р,2, Рз.

Относя движение к главным направлениям, легко составить себе наглядное представление о движении тела и об излучении им звука при различных соотношениях между плотностями тела и среды и при различной форме тела. По отношению к главным осям Xi, Х2, Хз тензор Пу/ также делается диагональным и соответственные компоненты «1, Пз. равны

1 1 1

""~ii+pi "-Шй* "-[ГТй*

Компоненты вектора ускорениявыразятся в этой системе координат формулами-

Компоненты силы диполя выразятся формулами

, рО±ф. pQ + t,, pQ + fa*

Для тела очень большой массы по сравнению с массой вьггес-ненного объема и компонентами тензора присоединенных масс



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [112] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0118