Главная Общая акустика - создание упругих волн



§ nil Малое препятствие, отличающееся от среды только плотностью

Степень сжатия такого препятствия та же, что и окружающей среды, поэтому оно не создает монопольного рассеяния. Но скорость препятствия отличается от скорости окружающих частиц среды: если плотность р препятствия больше, чем плотность среды, то оно отстает от частиц среды, а если его плотность меньше, чем у среды, то оно обгоняет частицы. В результате препятствие движется относительно среды и поэтому создает в среде излучение дипольного типа. Это излучение и есть поле, рассеиваемое данным препятствием.

При малых размерах препятствия можно считать, что оно движется относительно среды, как в несжимаемой жидкости. Пусть скорость частиц в звуковой волне в месте расположения препятствия есть v. Можно считать, что жидкость колеблется вблизи препятствия как целое. Скорость тела обозначим через ». При неравенстве плотностей она отличается от скорости среды. Скорость движения тела относительно среды равна »-v. Следовательно, рассеянное поле совпадает с излучением, которое создавало бы данное тело, двигаясь в неподвижной среде со скоростью и-v. Поэтому, определяя силу диполя и само рассеянное поле, можем воспользоваться уравнениями (106.3) и (106.4), заменяя в них заданную скорость телаотносительно среды пока неизвестной скоростью и-v. Переходя к тензорным обозначениям, получим силу диполя и рассеиваемое поле в виде

Fi = {pQ8ji-{-ixji){di~Vt), (111.1)

р = -(рйбу,Ч- 1/7)("/- . (Ill-2)

где -• тензор присоединенных масс для рассеивающего препятствия.

Для нахождения неизвестной скорости тела и,- составим уравнение движения тела. Если бы оно двигалось со скоростью окружающей среды, то сила, действующая со стороны среды, равнялась бы массе среды в объеме тела, умноженной на ускорение, т. е. pQvj. К этому надо добавить реакцию среды, вызванную движением тела относительно среды, равную, согласно (106.1): - Фу = -(щ-Vi). Следовательно, результирующая сила,

действующая на тело, есть pQv/-- Wj), и уравнение движения препятствия можно записать так:

HUj = pQvi-~Hji{ui - Vi),

где р = рЙ - масса препятствия. Пользуясь тождеством Ыу = = бу,и,, запишем уравнение движения в более симметричном



виде:

(рбу, + р,,) щ = (pQ6„ + Ил) f,. (111.3)

Отсюда найдем, интегрируя по времени, такое же соотношение между скоростями тела и среды:

(16 + Н)= (рЩи + Ил) Vt. (111.4)

Решим эти уравнения относительно неизвестных компонент скорости тела. Умножая обе части уравнения (111.4) на тензор rija, определенный формулой (106.5), получим

Ua = (pQ8n + lift) njaPt. (111.5)

Таким образом, компоненты скорости тела - линейные однородные функции от компонент скорости частиц среды в месте нахождения препятствия, причем коэффициенты- вещественные числа. Следовательно при прямолинейных траекториях частиц среды (например, в однородной плоской волне) тело также будет коле- баться по прямой.

Скорость тела относительно среды найдем, вычитая из (111.5) тождество Va = (рб, + Hji) tijaVi- Это даст

"а -fa=(p-fA)rtazfz. (111.6)

Направление колебаний тела и направление силы диполя рассеяния различны. Эти направления совпадают только для трех взаимно перпендикулярных направлений падения волны - направлений главных осей тензора присоединенных масс. Выбирая оси координат параллельными этим направлениям, получим из (111.5)

Здесь Hi, Ра. Рз-значения компонент для главных осей.

Амплитуда колебаний тем больше, чем меньше собственная масса рассеивающего тела. Для тела в виде тонкой пустой оболочки его собственной массой можно пренебречь по сравнению с присоединенными массами; тогда формулы (111.7) перейдут в такие:

u, = v„ "з=-±з. (111.8)

Их Г2 V-s

В этом случае скорость колебаний тела всегда больше скорости частиц среды и особенно велика для тех главных направлений, в которых компонента тензора присоединенных масс мала. Поэтому амплутуды колебаний могут сильно различаться при различных направлениях падения волны на тело, особенно при сильной сплюснутости («тарелка») или вытянутости («игла»). Скорость велика при падении волны вдоль иглы или в плоскости тарелки и мала (примерно равна скорости среды) при падении перпендикулярно к игле или плоскости тарелки. Для рассмотренного в § 106 безмассового эллипсоида вращения с отношением осей



10 : 1 скорость колебаний при падении волны вдоль большой оси будет превосходить скорость частиц среды в 48,6 раза, а при падении вдоль малой оси - в 2,04 раза.

Тело, отличающееся по плотности от среды и малое по сравнению с длиной волны звука, может быть использовано как направленный приемник звука. В самом деле, установив в теле какое-либо устройство, регистрирующее компоненту скорости колебаний (или смещения) тела в каком-либо направлении, связанном с телом, получим различные показания устройства при падении волны звука с разных направлений. Таким устройством может, например, быть грузик на пружинке, скользящий по направляющей, укрепленной внутри тела. Легко видеть, что такое устройство имеет дипольную характеристику направленности. В самом деле, формула (111.5) показывает, что компонента скорости и, соответствующая оси Ха, которую рзсположим ВДОЛЬ направляющсй, есть скалярное произведение вектора скорости среды У; на вектор (рОбу; + Hji) tija, не зависящий от направления падения волны. Значит, действительно, характеристика устройства косинусо-образная при любом расположении направляющей.

Ось характеристики направленности вообще не совпадает с направляющей. Совпадение будет только для направляющей, расположенной вдоль одного из главных направлений тензора присоединенных масс. Так как амплитуда колебаний тела по разным направлениям различна, то различной окажется и чувствительность такого приемника звука при разных расположениях направляющей. При р, < рО чувствительность максимальна при расположении направляющей вдоль оси наименьшей главной компоненты тензора присоединенных масс; при р, > рй чувствительность максимальна для оси наибольшей главной компоненты.

Вернемся к формуле для силы диполя. Пользуясь (111.3) и (111.5), получим из (111.1)

Fi = (pQ - ц) (pQ6,, + р,,) niva. (111.9)

Для случая падения волны вдоль одной из главных осей найдем

Fx = ipQ-,)6x, /, = (pQ-p)i4.

f3 = (pO-fx)

(111.10)

И + Из

Рассеянное поле для падения вдоль оси Xi равно

p = -(pQ-(x)q:.,. (111.11)

и аналогично для направлений х и Хз.

Интересно рассмотреть два крайних случая; масса рассеивающего тела равна нулю и масса тела равна бесконечност-и (закреп-

360 ,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.013