Главная Общая акустика - создание упругих волн



в пузырьке, и для расчета рассеяния достаточно подставить эту величину в формулы § ПО. Так, при адиабатическом колебании, когда теплообмен между газом и окружающей жидкостью не успевает произойти, сжимаемость газа равна Р = МРу и в формуле (ПО.4) можно пренебрегать единицей по сравнению с отношением сжимаемостей Р/р. Таким образом, в области низких частот сечение рассеяния пузырька можно положить приближенно равным

±.na4kaf[)\ (П2.1)

Хотя частотная зависимость получилась такой же, как и для рассеяния на несжимаемом препятствии, абсолютная величина рассеяния выросла в огромной степени: в отношении квадратов сжимаемостей газа и жидкости. Для воздушного пузырька в воде это составляет около восьми порядков!

Пользуясь соотношениями р = 1/рс и Р = З/раЮд, получим следующее выражение для поперечного сечения рассеяния:

о = 4ла2 (©/©о)*. (П2.2)

Этой формулой можнО пользоваться, пока величина ©/©о мала по сравнению с единицей. Ошибка в расчете не превысит примерно 10%, если ©/©(, <V3. При повышении частоты и приближении ее к резонансной, а также при дальнейшем увеличении частоты формулой (112.2) пользоваться уже нельзя: хотя газ в пузырьке по-прежнему будет сжиматься и расширяться квазистатически, сжимаемость пузырька не будет равна сжимаемости содержащегося в нем газа, так как пузырек в целом как осциллятор уже не будет находиться в статическом режиме. Даже по фазе сжатие пузырька перестанет совпадать с давлением в падающей волне. Можно было бы все же воспользоваться той же формулой (112.1) для расчета рассеяния, найдя специально эффект«вн1 о сжимаемость пузырька на любой частоте (это была бы вообще комплексная величина). Но проще решить общую задачу о рассеянии с самого начала, задаваясь первичной волной и отыскивая объемную скорость пузырька из граничных условий на его поверхности все в том же предположении о малости радиуса пузырька по сравнению с длиной волны в газе, заполняющем пузырек. Перейдем к такому расчету.

Пусть пузырек находится в поле гармонической первичной волны о единичной амплитудой давления. Волна, излучаемая пульсациями пузырька, вызванными действием этой волны, и будет искомой рассеянной волной. Ее можно записать в виде

p, = -/p©F , ,

где неизвестная объемная скорость определится из граничного условия, которое можно сформулировать как требование равен-



ства сопротивлений на границе внутри и снаружи пузырька, Сопротивление внутри пузырька найдем.из формул § 89:

- Зц/аР . 3

Давление снаружи пузырька на его поверхности равно сумме давлений в падающей и рассеянной волне, т. е.

р=1+р,= 1-/сор-

(изменением поля падающей волны вдоль диаметра пузырька можно пренебречь). Радиальная скорость пульсаций пузырька равна V = 1 4ла (радиальной скоростью, вызванной падающей волной, можно также пренебречь). Таким образом, сопротивление на границе пузырька снаружи его равно

1 - iщVe"ЧA%a а 1 4ла2

Приравнивая оба выражения для сопротивления, полагая приближенно е*" = 1 + ika и делая простые преобразования, получим

Vi . (П2:3)

coj - ш - шйа

Для объемной скорости получилось выражение, аналогичное резонансной формуле для осциллятора с добротностью Q = \lka. При амплитуде падающей волны, равной ро, величину объемной скорости будет достаточно умножить на ро-

Теперь мы можем исследовать законы рассеяния звука пузырьком при любых соотношениях между частотой падающего звука и собственной частотой пузырька, пока сохраняется условие малости радиуса пузырька по сравнению с длиной волны в газе. При выполнении этого требования газ в пузырьке сжат равно-, мерно, квазистатически.

Как и для всякого осциллятора, существенно различными оказываются три области частот: область низких частот (со < со о), резонансная область (со «=; coq) и область высоких частот (со > со о).

В низкочастотной области осциллятор управляется упругостью: присоединенной массой можно пренебречь. Это значит, что в формуле (П2.3) в знаменателе можно пренебречь всеми членами, кроме первого. Это даст для объемной скорости величину

V = i4nao)/p(uo и для сечения рассеяния то же значение (П2.2), которое мы уже получили выше из других соображений.

В другом предельном случае - случае высоких частот, когда осциллятор управляется массой (присоединенной), а упругостью можно пренебречь, - можно опустить в знаменателе все члены,



кроме второго. Это даст для объемной скорости величину V = -»4ла/ро) и для сечения рассеяния

в = 4па (112.4)

- величину, от частоты не зависящую и вчетверо превосходящую площадь поперечного сечения пузырька. По отношению к несжимаемому препятствию сечение рассеяния оказывается увеличенным в 9/{ka)* раз. То же значение поперечного сечения рассеяния мы получили бы для вакуумной сферической полости в жидкости (при любой частоте). Подобные полости образуются при кавитации: они лишены воздуха и давление в них не превосходит малой величины давления насыщающих паров жидкости.

Рассмотрим, наконец, резонансную область частот, когда со близко к (о о- При точном резонансе (со = со о, k = = (njc) движение пузырька управляется только потерями энергии на излучение при колебаниях. В знаменателе (112.3) остается только последний член. Это дает V = 4п/р(лк, откуда

т. е. площадь круга радиуса К/я. Это сечение больше поперечного сечения пузырька в 4/(Ы) раз. Например, для резонансных пузырьков, находящихся в воде при атмосферном давлении (неглубоко под поверхностью воды), имеем: о = 20 OOO-na*". По отношению к сечению рассеяния несжимаемой сферы получается увеличение в 9/(а) раз. Для воздушного пузырька вблизи свободной поверхности воды это означает увеличение сечения рассеяния на 12 порядков. Отношение амплитуд давлений в резонансном пузырьке и в первичной волне равно Q = 1/1га; для пузырька вблизи поверхности Q«=<71. Для плоской первичной волны соответственное отношение скорости поверхности пузырька и скорости частиц в падающей волне равно Q; это дает для такого же пузырька величину ~5000.

Приведенный расчет показывает, что наличие даже небольшого числа резонансных пузырьков на пути звуковой волны в воде должно приводить к значительному рассеянию звука. По мере «расстройки» пузырьков, т. е. при расхождении частоты падающей волны с резонансной частотой пузырька, эффективность пузырьков как рассеивателей быстро убывает. Полуширина резонансной кривой равна Аю/соо = /фа. Для пузырька вблизи поверхности воды это дает примерно Aco/coq = 0,007. При такой расстройке рассеяние уменьшается по энергии вдвое по сравнению со случаем точного совпадения частот.

Из сказанного вытекает, что если в воде (например, в море) имеются пузырьки различных размеров, то наблюдаемое на данной частоте / = сй/2л рассеяние практически полностью будет определяться пузырьками «резонансного размера», т. е. пузырьками радиуса а 327 (для пузырьков вблизи поверхности воды)!



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [119] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0254