Главная Общая акустика - создание упругих волн



13 порядков!), оно слышало бы уже беспорядочный тепловой шум- броуновское движение воздуха у барабанной перепонки.

Теперь ясно, какова добавочная граница применимости картины сплошной среды в акустике: амплитуда звуковой волны должна быть много больше броуновского движения объема среды, малого по сравнению с длиной волны звука. Таким образом, среду нельзя считать сплошной для очень слабых звуков. Новое требование появилось потому, что в акустике встречаются с исключительно малыми смещениями среды, в то время как в обычной гидродинамике сами движения среды макроскопичны.

§ 14. Лапласова и ньютонова скорости звука. Температурные колебания в звуковой волне

Мы видели в § 9, что скорость звука в плоской волне определяется плотностью и сжимаемостью среды. Но сжимаемость не определена для данной среды однозначно: она зависит от температурного режима среды при сжатиях и разрежениях. В самом деле, всякая среда при сжатии нагревается («адиабатическое нагревание»), а при разрежении охлаждается *), а давление зависит не только от степени сжатия среды, но и от ее температуры. Поэтому сжимаемость зависит от того, успевают ли выравниваться возникающие в звуковой волне температурные разности. Если бы выравнивание успевало происходить полностью на протяжении каждого полупериода волны, так что температура в волне оставалась бы одинаковой во всех точках, несмотря на различие давлений, то упругие свойства среды характеризовались бы изотермической сжимаемостью рз- Если бы выравнивание температур совершенно не успевало произойти, то упругие свойства среды определялись бы адиабатической сжимаемостью Рад. Как известно, отношение изотермической и адиабатической сжимаемости равно отношению у теплоемкостей среды при постоянном давлении (Ср) и при постоянном объеме (Cv)-

В действительности разности температур выравниваться не успевают и распространение звука происходит адиабатически, т. е. в выражение для скорости звука входит адиабатическое значение сжимаемости:

с2=1/рР.д. (14.2)

Заметим, что измерить адиабатическую сжимаемость статическим методом практически нельзя, поскольку любой сосуд, куда

*) Важное исключение -вода в температурном интервале 0-4" С, в котором наблюдается обратный эффект, что связано с аномальным температурным расширением воды в этом интервале.



можно заключить сжимаемое вещество, теплопроводен и при сжатии или разрежении происходит теплообмен между веществом и сосудом. Адиабатическую сжимаемость нужно измерять так быстро, чтобы теплообмен не успевал произойти в заметной степени. Колебательное движение в звуковой волне как раз является таким быстрым процессом, и можно найти из формулы (14.2), измерив скорость звука и плотность среды. Изотермическую сжимаемость можно найти экспериментально статическим методом, производя измерение давления сжатой или разреженной среды после того, как ее температура вернется к исходному значению. Перечисленные измерения позволяют найти важную термодинамическую величину - отношение теплоемкостей у:

Для того чтобы найти расчетным способом изменение температуры в волне, вернемся к уравнению состояния (11.7). Для малых амплитуд давления, плотности и температуры уравнение состояния также можно линеаризовать, представляя в виде

5=р„зР-аГ, (14.3)

где Т - изменение температуры, р - акустическое давление, S- акустическое сжатие, а - коэффициент температурного расширения среды. В звуковой волне процесс адиабатичен, т. е. должно быть

S = РадР-

Сравнивая с предыдущей формулой, найдем, что изменения температуры в волне равны

ipi Риз Рад р

или, пользуясь (14.1),

Г = 8 = 1РздР. (14.4)

Для идеального газа точное уравнение состояния-имеет вид

P = RpT.

Линеаризуя это уравнение, получим

р Т

где Ро и Tq - невозмущенные значения полного давления Р и абсолютной температуры Т. Отсюда видно, что в идеальном газе изотермическая сжимаемость равна обратному значению невозмущенного давления: Р„з = 1/Ро а коэффициент термического расширения равен обратному значению невозмущенной температуры,



а = 1/Tq. Согласно (14.2) скорость звука в газе равна

с = УуРо/Ро. . (14.5)

Например, для воздуха при нормальных условиях Pq = = 10* бар, ро = 1,3-10" * г/см и 7 = 1,4. Это дает для скорости звука значение созд я» 3,3-10* см/сек, что хорошо согласуется с опытом.

Из (14.5) следует, что скорость звука в воздухе (или в другом газе) не зависит от невозмущенного давления, поскольку невозмущенная плотность Ро пропорциональна этому давлению Р. Из-менение же температуры газа влияет на скорость звука: согласно уравнению состояния отношение Pq/Po пропорционально абсолютной температуре; следовательно, скорость звука в газе пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. При комнатной температуре скорость звука растет примерно на 0,17% на каждый градус повышения температуры *).

В свободной атмосфере при поднятии на высоту меняются как плотность и давление, так и температура воздуха, но на скорость влияет только изменение температуры. В обычных условиях в тропосфере температура воздуха падает с высотой, значит, уменьшается и скорость звука. Поэтому «звуковой барьер» (резкое нарастание сопротивления воздуха при достижении самолетом скорости звука) на высоте наступает при меньшей скорости полета, чем у земной поверхности.

Интересно, что Ньютон, давший первый теоретический расчет скорости звука в газе, исходил из уравнения Бойля-Мариотта для давления газа; это равносильно предположению об изотермич-ности процесса распространения звука. Соответственное значение

с„=/Ро/Ро. (14.6)

которое можно назвать ньютоновой скоростью звука, для воздуха равно 2,8-10* см/сек, что примерно на 20% меньше действительного значения. Указание на адиабатичность звуковых волн было сделано Лапласом; поэтому значение, даваемое (14.5), иногда называют лапласовой скоростью звука и обозначают с„. Реальная скорость звука в газе- лапласова скорость. Очевидно,

Формула (14.4) дает для изменения температуры в звуковой волне в газе величину

Т - Т п

*) В жидкостях и твердых телах в обычных условиях скорость звука падает при увеличении температуры. Вода - исключение: в ней скорость звука растет с повышением температуры до примерно 74° С и только при больших температурах начинает падать.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0111