Главная Общая акустика - создание упругих волн



нородностей уничтожается действием других. Остаток - рассеянное поле - нарастает поэтому медленно (как можно показать, пропорционально корню квадратному от пройденной длины пути). Поэтому в задаче о рассеянии на случайных неоднородностях метод малых возмущений можно применять для сравнительно больших расстояний.

Впрочем, формулы, которые мы получим для поля, рассеивае-люго элементарным объемом среды, справедливы при любом - как регулярном, так и случайном - характере изменения свойств среды по пространству, так как в них входят только локальные свойства среды. Однако, применять эти формулы можно только для расстояний, на которых исходная волна остается еще много большей рассеянного поля.

Итак, пусть свойства среды непрерывно и случайно изменяются от точки к точке и изменения составляют малую долю соответственных средних значений. Уравнения движения и неразрывности в непрерывно неоднородной среде можно написать в том же виде, что и в однородной:

pS + vp = o,

Отличие заключается в том, что здесь коэффициенты уравнений р и р - случайные функции координат, а не постоянные величины. Пусть относительные изменения плотности и сжимаемости равны соответственно в < 1 и т) < 1, т. е.

р = р«(1 +в) и р = ро(1 4.)

где р" и Р" - средние значения плотности и сжимаемости. Давление и скорость частиц в первичной волне, которые обозначим через р" и г»*, должны удовлетворять уравнениям с постоянными коэффициентами:

0 5 , v7.0 .

+ Vp« = 0,

йо» .(114.2)

Обозначим давление и скорость частиц в рассеянном поле через р и v. Тогда полное поле, которое должно удовлетворять уравнениям (114.1), выразится суммами р" -f- р и Ч-г». Подставляя эти величины в уравнения (114.1) и пользуясь (114.2), найдем

P« + Vt» + p«ri = -p«,f.



Последние слагаемые слева - малые высшего порядка по отношению ко всем остальным членам. Поэтому будем ими пренебрегать. Тогда для рассеянного поля получатся следующие приближенные уравнения:

Эти уравнения можно рассматривать как поля, создаваемые в однородной среде сторонними объемными скоростями, распределенными с плотностью V = -Рт) (dp/dt), и сторонними силами, распределенными с плотностью F = -р*е {dvldt). Так как сила F приложена к среде, ее можно считать силой диполя. Пусть первичная волна - плоская гармоническая бегущая волна единичной амплитуды давления р° = е*. Тогда сторонняя объемная скорость в элементе объема dx dy dz равна гсйР"г] ехр [ikx) X X dx dy dz, a его сила диполя равна 1кг ехр [ikx) dx dy dz. Следовательно, поле, рассеиваемое данным элементом объема, равно

(opopojj ± ---15 cose] dxdydz,

где г и Э - соответственно расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения и угол между направлением на точку наблюдения и осью X.

Поле, рассеянное всей неоднородной областью, получится путем интегрирования этого выражения по всей рассеивающей области. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от рассеивающего объема (в волновой зоне по отношению к каждому рассеивающему элементу), то единицей в числителе диполь-ных членов можно пренебрегать, и рассеянное поле представится в виде

p = fe2j(n-fe cos 6) dxdydz. (114.4)

Суммарное рассеяние представлено в виде интеграла от полей монопольных источников, соответствующих неоднородностям сжимаемости, и дипольных источников, соответствующих неоднородностям плотности. Каждый из источников создает поле либо сферически-симметричное (монополи), либо с восьмерочнор характеристикой (диполи). Однако результирующее поле может не обладать такой симметрией, поскольку оно образовано суперпозицией полей многих таких источников, расположенных в разных точках и имеющих разные фазы. На большом расстоянии от рассеивающего



объема, где уже успевает сформироваться характеристика направленности для рассеянного поля от всего объема в целом, эта характеристика определяется корреляцией неоднородностей в рассеивающем участке. Если радиус корреляции мал по сравнению с длиной волны звука и если неоднородности плотности и сжимаемости статистически независимы по пространству, то характеристика рассеяния по интенсивности явится просто суперпозицией сферической и восьмерочной характеристик, взятых с соответственным весом. При большом же радиусе корреляции неоднород-; ностей среды характеристика будет сильно вытянута в направлении падения первичной волны: рассеянные волны будут распространяться в узком угле вблизи этого направления, а рассеяние вбок н особенно в обратном направлении будет практически отсутствовать.

Поясним, нем обусловлена зависимость направленности рассеяния области в целом от степени корреляции ее неоднородностей. Суммарное рассеяние определится тем, с какими фазами складываются вдали от рассеивающей области поля, рассеянные отдельными элементами среды. Эти фазы зависят как от знака неоднородности (величины 8 и т] могут быть как положительными, так и отрицательными), так и от набега фазы волны, приходящей к данной точке и затем рассеивающейся в этой точке.

Для простоты рассмотрим два рассеивателя А и В, лежащие на прямой, параллельной направлению падения первичной волны. Разность фаз рассеянного поля в какой-либо точке наблюдения М, обусловленная только длиной пробега волны, равна k (АВ + + ВМ - AM). Для рассеяния точно вперед (точка наблюдения Mj) разность фаз равна нулю: насколько первичной волне дольше бежать до рассеивателя, настолько же рассеянной волне меньше бежать от рассеивателя до точки наблюдения. Для рассеяния в обратном направлении (точка наблюдения»Л12) разность фаз равна 2kAB: добавочная длина пробега равна двойному расстоянию между рассеивателями. Для рассеяния в каком-либо другом направлении разность фаз будет иметь промежуточное значение. Если расстояние точки наблюдения от рассеивателей велико по сравнению с расстоянием между рассеивателями (точка наблюдения во фраунгоферовой зоне по отношению к рассеивате-лям), то разность фаз будет зависеть от угла наблюдения как kAB (1 - cos Э) и будет, монотонно возрастать при увеличении угла Э. i

К указанному геометрическому набегу фаз волн, рассеянных различными участками рассеивающей области, будут еще добавляться скачки фазы на полволны при изменении знака отклонения сжимаемости или плотности от среднего значения. Еслирадиус корреляции флуктуации мал по сравнению с длиной волны звука, то такие скачки полностью замаскируют регулярный геометрический набег фаз, и можно будет считать, что рассеянные волны в любую точку наблюдения приходят со случайными фазами. По-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [123] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0098