Главная Общая акустика - создание упругих волн



след которой на границе совпадает с двухмерной волной. Рассеянное поле имеет, таким образом, вид

р = р+1 + pli = -ika sin6-ехр ife cos 9 + --) л -

-/feyi-(cose + --)2

- itesinO-exp ifecosO---)л: -ife j/ 1 -(cosO--\

где индексом -fl обозначен спектр, след которого отстает от следа первичной волны, а индекс -1 обозначает спектр, след которого

перегоняет или бежит в противоположную сторону по отношению к первичной волне. Углы скольжения спектров определяются формулами


cosO.

= COS0-f--,

cos 9 1 = cos0 -

(115.5)

Рис. 115.1. Волновые векторы спектров рассеяния плоской волны, падающей на синусоидальную поверхность, к - волновой вектор падающей волны, k - волновой вектор «правильно рассеянной» (отраженной от плоскости) волны, kjx и

k-i - волновые векторы спектров рассеяния. - волновое число синусоидальной шероховатости.

Пока эти выражения остаются меньшими единицы, спектры рассеяния - однородные волны, уходящие от границы, и их волновые векторы - можно построить, как показано на рис. 115.1. Начиная с некоторого угла скольжения первичной волны и при дальнейшем его уменьшении косинус угла скольжения спектра -fl окажется больше единицы; это значит, что спектр станет неоднородным и будет бежать вдоль границы, экс-

поненциально затухая при удалении от нее. Если > 1, то, начиная с некоторого угла скольжения первичной волны, станет неоднородным и второй спектр. При \lk > 2 оба спектра неоднородны при любом угле скольжения первичной волны; волна отражается от такой шероховатой поверхности как от зеркальной (если не считать возмущенного неоднородными спектрами «ближнего поля»).

Амплитуды обоих спектров одинаковы и равны ka sin 0 независимо от того, однородны спектры или нет. По мере уменьшения угла скольжения эффект шероховатости уменьшается: амплитуда спектров падает.

Аналогично можно найти рассеяние и от абсолютно мягкой поверхности с любой периодической шероховатостью. В самом

Ш



деле, так как высота (малых!) шероховатостей входит в выражение для сторонних давлений линейно, то к шероховатостям можно» применять принцип суперпозиции: рассеяние от шероховатости г = t,i + 1,2 равно сумме полей, рассеянных от шероховатостей z = iH2 = 1,2 ъ отдельности. Поскольку всякую периодическук> шероховатость можно представить в виде суперпозиции косину-соидальных шероховатостей при пол10щи разложения Фурье, рассеяние плоской волны от такой поверхности представится в виде Суперпозиции соответственных спектров: каждая косинусоида разложения создаст два спектра - один по одну и другой по другук> сторону от направления зеркального отражения падающей плоской волны. Направления волновых векторов спектров определятся формулами

cose+i,, = cos0-fcose i, , = cos0-(П5.б>

где I = 2n/L, L - основной период шероховатостей, / - номер-спектра. Рассеяние происходит, таким образом, по дискретным направлениям. Из (П5.6) ясно, что высокие номера спектров будут неоднородными: тонкая структура шероховатости не будет передаваться в среду. При 1,1k > 2 шероховатая поверхность ведет себя как зеркальная. С этим характерным свойством волн - «забывать» мелкомасштабные воздействия на них - мы уже встречались в гл. П1 и VHI.

Если шероховатость не периодична, но ее можно разложить в интеграл Фурье, то, «пристраивая» к каждому элементу разложения соответственный спектр, найдем рассеянное поле, которое в этом случае будет занимать непрерывную область углов.

Аналогично решается и задача о рассеянии волн на абсолютно жесткой шероховатой поверхности (например, рассеяние воздушного звука на волнующейся поверхности моря). В этом случае на границе должна обратиться в нуль суммарная нормальная скорость первичного и рассеянного поля р" -Ь р• Граничное условие для первичной волны - обращение в нуль г-компоненты

скорости vi на плоскости z = 0. Как легко видеть, в первом приближении по малым величинам А, dt,/dx, д/ду первичная волна создает на шероховатой поверхности нормальную скорость

Поэтому граничное условие на шероховатой границе будет выполнено, если сообщить границе добавочно сторонние нормальные скорости - которые «остановят» границу. Значит, рассеянное поле равно излучению, создаваемому сторонними нормальными скоростями -vl, распределенными по шероховатой границе. Как и для случая мягкой границы, сторонние нормальные-скорости, приложенные к шероховатой границе, можно, не увеличивая по-



рядка погрешности, считать заданными как г-компоненты сторонней скорости непосредственно на плоскости 2 = 0.

В качестве примера снова возьмем плоскую задачу о рассеянии волны (115.3) на синусоидальной поверхности (115.2), которую теперь считаем абсолютно жесткой. Согласно (115.7) сторонние скорости, заданные на плоскости z = О, запишутся так:

;е)ехр [ife(cose + --j х -

v, = - {kasin-

acost

--(tesine -acose)exp ife (cos 6 ---) x

Отсюда сразу получим, согласно § 34, и сами спектры:

Р-1 = -i

V 1 -(cose-

ka sin 9-

a cos 9

У l-(cose-

-iky l-(cose + --) exp ffe(cos6--1") -

(115.8)

1 - (cose -!-)z

Направления спектров получаются такими же, как и для абсо-.лютно мягкой поверхности: углы скольжения их удовлетворяют тем же уравнениям (115.5); совпадают и условия однородности •спектров. Но амплитуда рассеяния от жесткой поверхности совсем другая, чем от мягкой. В частности, при стремлении угла скольжения какого-либо рассеянного спектра к 0° или 180° («скользящий спектр») его амплитуда стремится к бесконечности. Это указывает, во-первых, что амплитуда рассеянного спектра действительно растет по мере его приближения к «скользящему», а во-вторых, что амплитуду «скользящего» или близкого к «скользящему» спектра нельзя рассчитывать по формуле (115.8).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0115