Главная Общая акустика - создание упругих волн



ствующее передаче всей энергии поступательным степеням свободы, будет уменьшаться - «релаксировать», стремясь к некоторому меньшему значению, которое соответствует равномерному распределению энергии по степеням свободы. Но поскольку такое перераспределение требует многих соударений, оно отстает от исходного процесса сжатия и при синусоидальном процессе приводит к сдвигу фаз между сжатием и давлением, а в результате - к поглощению звуковой энергии.

Если время перераспределения энергии сравнительно велико, то релаксационные процессы вызывают сильную зависимость поведения вещества от частоты уже при не очень высоких частотах. В то время как феноменологическая картина сдвиговой вязкости для многих веществ сохраняется до частот, где распространение звука фактически прекращается, феноменологическая картина объемной вязкости должна быть заменена на значительно меньших частотах полной картиной релаксационного процесса.

Важное значение (особенно в газах) имеют термические механизмы поглощения звука. В звуковой волне места сжатия имеют повышенную температуру (по сравнению со средней температурой среды), а местаразрежения - пониженную; это - результат «адиабатического» нагревания и охлаждения. В реальной жидкости измененные температуры частично выравниваются путем теплопроводности и путем теплоизлучения. Теплопроводность-нелокальный механизм обмена теплом между смежными участками среды. Теплопроводность выравнивает температурные неравномерности волны, имеющие (как и скорости частиц среды при вязком выравнивании скоростей) масштаб длины звуковой волны. Теплоизлучение выравнивает температурные разности между данным нагретым или охлажденным участком и средой в целом. Выравнивание происходит путем испускания и поглощения электромагнитных волн. В отличие от механизмов сдвиговой вязкости и теплопроводности, теплоизлучение - локальный механизм релаксационного типа: каждый элемент среды излучает или поглощает тепло независимо от соседних, единственно в меру отличия его температуры от средней температуры среды.

Всякие диссипативные силы вызываются процессами, идущими на межмолекулярном и внутримолекулярном уровне. Поэтому поглощение звука дает сведения о строении среды и о ее поведении в молекулярных масштабах, а не только о таких усредненных характеристиках среды, как модуль упругости или плотность.

§ 119. Индикаторные диаграммы для частицы среды

Мы видели, что для расчета коэффициента затухания нужно знать мощность диссипативных напряжений в единице объема среды, равную - dE/dt, а также плотность энергии Е в среде. Зи величины наглядно представляются при помощи индикаторных



диаграмм для частицы среды. Индикаторная диаграмма - это график зависимости давления от степени сжатия среды. Диаграмма изображает графически работу, совершаемую над частицей силами давления со стороны окружающей среды, в расчете на единицу объема.

Построим раньше всего индикаторную диаграмму для статического давления Рст- Статическое давление всегда находится в фазе со сжатием s и пропорционально ему: Рст = s/p, где р-статическая сжимаемость среды. Индикаторная диаграмма изображается прямой линией (рис. П9.1, а). Котангенс угла наклона графика ф равен сжимаемости р. При изменении сжатия изображающая точка на графике дважды пробегает его: один раз в одном направлении и другой раз - в обратном. Работа сил давления над частицей при изменении сжатия от s до s-\-ds равна Pcds и изображается площадью соответственного столбика диаграммы (на рисунке - заштрихованный столбик). При прохождении диаграммы


Рис. 119.1. а) Индикаторная диаграмма статического давления р., диссипативного давления q и результирующего давления Рст-Ь Я-б) Уточненная индикаторная диаграмма диссипативного давления для волны, затухающей с течением времени.

вправо (ds > 0)

и влево (ds <С 0) значения р„ повторяются, а значения ds меняют знаки. Поэтому работа за полный цикл колебания оказывается равной нулю. Это означает, что, как нам уже было известно, работа сил статического давления за период равна нулю, т. е. эти силы не вызывают поглощения звука.

Предположим теперь, что имеется еще добавочное давление q, отстающее по фазе относительно сжатия на четверть периода. Это значит, что мнимость q равна мнимости - is, т. е. величина ql{-is) вещественна и положительна. На рис. П9.1, а изображена пунктиром диаграмма и этого добавочного давления q. Она представляет собой эллипс с осями, направленными по осям координат диаграммы. Изображающая точка обходит эллипс по часовой стрелке. Наконец, на том же рисунке изображена диаграмма суммарного давления Рс, -- q, имеющая вид эллипса с наклонными осями, который также обходится изображающей точкой по часовой стрелке. Элементарная работа суммарного давления



каждый раз изображается столбиком, но при прохождении изображающей точки вперед и назад высоты столбиков будут различны: при прохождении вправо (положительная работа) площадь столбика больше, чем при прохождении влево (отрицательная работа). В итоге за один обход ЭоТлипса Рст + Я< т. е. за один период, суммарная работа будет положительна: она изобразится площадью этого эллипса. Но, как легко видеть, площади эллипсов q и Рс, --равны друг другу. Поэтому для нахождения работы диссипативных сил можем пользоваться диаграммой для q (пунктирный эллипс).

Заметим, что, помимо диссипативного давления, динамическая добавка может содержать слагаемое, синфазное со сжатием, т. е. являющееся, как и статическое давление, упругим напряжением. В дальнейших расчетах будем обозначать такую добавку через р, а результирующее упругое давление, находящееся в фазе со сжатием, - через р = р„ р. Индикаторная диаграмма для результирующего упругого давления, так же как и для статического давления, изображается прямой линией; отличие заключается только в угле наклона. На рис. П9.1 добавка р не показана. Скорость звука определяется через сжатие и результирующее упругое давление формулой

c = p/ps. (И 9.1)

Обозначим амплитудные значения сжатия s, упругого давления р и диссипативного давления q через So, ро qo соответственно. Тогда полуоси пунктирного эллипса на рис. П9.1 равны So и о", следовательно, площадь этого эллипса (работа диссипативных сил за один период Т = 2я/(а) равна nsq- Значит энергия, дис-сипированная за 1 сек, т. е. мощность диссипативных сил, выразится формулой

dE Я5о1?о cospqo

dt ~ Т 2 *

с другой стороны, средняя плотность энергии в гармонической звуковой волне равна Е = (1/2) SoPo- Значит, согласно (117.3), временной коэффициент затухания равен

а = шо/2ро. (И9.2)

Пространственный коэффициент затухания найдем из (117.5):

б = kqol2pa. (119.3)

Итак, задача определения временного и пространственного коэффициентов затухания звука свелась к нахождению диссипативного добавочного давления, соответствующего данному" динамическому упругому давлению.

Не всегда диссипативные силы выражаются скалярной динамической добавкой к давлению. Например, вязкие силы характери-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0124