Главная Общая акустика - создание упругих волн



Для нормальных условий 270° С и для воздуха получается Т" 0,78-10" * р. На пороге слышимости амплитуда колебаний температуры составляет ijcero только около 2,5 стомиллионной Доли градуса (на болевом пороге- около 0,Г). Эти малые изменения температуры и созд.1к)т двадцатипроцентную разницу между лапласовой и ньютоновой скоростями.

Малый теплообмен ме}{(ду различно нагретыми участками сжатия и разрежения в звуковой волне, который все же успевает произойти за половину периода, сказывается только в небольшой потере энергии звуковой Волны и переходе ее в тепло, в результате чего волна постепенно затухает при распространении. Учет таких потерь мы выполним в глОЦНа скорость же звука малый теплообмен практически не влияет.

До сих пор мы неявно принимали, что поведение среды в звуковой волне описывается тем же уравнением состояния, что и при равновесных условиях, т. е. что в волне сжатие среды однозначно зависит от давления и от температуры в данный момент времени. Но это справедливо тол15ко для не слишком быстропеременных процессов - для звуков не слишком высоких частот. В самом деле, при изменении степени сжатия в среде начинаются внутримолекулярные и межмол(;кулярные процессы, переводящие ее от-, состояния равновесия, ссзответствующего одной степени сжатия, к состоянию равновесия, соответствующему другой степени сжатия. Если характерное время т этих процессов много меньше пери- ода звуковой волны (ют 1), то среда все время будет находиться в квазиравновесном состоянии и давление в ней будет определяться действительно только степенью сжатия.

Но при обратном соотношении характерных времен (ют > 1) эти процессы не будут успевать следовать за волной и состояние среды будет определяться не только степенью сжатия в данный момент, но и степенью снатия в предыдущие моменты, по крайней мере за время т. При таком соотношении времен никакого уравнения состояния, которое Суы связывало давление со сжатием и температурой в один и тот jKe момент времени, быть не может; в результате при одном и том же значении степени сжатия давление в среде окажется различным при разных частотах волн. Поэтому эффективная сжимаемость среды окажется зависящей от частоты звука, а значит, волны разной частоты будут распространяться с разной скоростью - Появится дисперсия скорости звука. Эти вопросы рассмотрим подробнее в гл. ХП. .

§ 15. Пр,инцип суперпозиции волн

Из линейности урав1нений акустики относительно давления, скорости частиц и т. п. следует важное свойство волн. Пусть волна pi (/, г) есть какое-нибудь частное решение акустических уравнений, а волна рг (t, г) - другое частное решение этих же уравнений. Тогда, в силу линейности уравнений акустики, лна



р = Pj .-f p2 также есть частное решение этих уравнений. Физически это означает, что если волны Pi и ра могут свободно распространяться в среде под действием только внутренних сил упругости, без какого-либо стороннего воздействия, то волна р = = Pi -\- Pi также может распространяться в этой среде как свободная волна. В силу линейности соотношений между давлением р, скоростью частиц v и сжатием s все эти величины в волне равны сумме соответственных величин в составляющих волнах pi и pg-

Мы приходим, таким образом, к понятию суммирования или суперпозиции волн: в линейной среде каждая свободная волна распространяется независимо от всех остальных и звуковое поле в каждой точке - это просто сумма полей составляюТщих свободных волн. Для скалярных характеристик волны (например, для давления, температуры*))суммирование алгебраическое, для векторных (скорость, ускорение частиц) - векторное. На принципе суперпозиции основана вся теория интерференции - явления, хорошо известного из курса физики и общего для всех видов волн, подчиняющихся линейным уравнениям.

Важное применение принципа суперпозиции - представление данной волны в виде суммы или интеграла других волн, которые проще для изучения, чем исходная волна, например, в виде гармонических волн разных частот. Этот вопрос рассмотрим подробно в следующей главе.

Отметим, что принцип суперпозиции приближенный: он справедлив с той же степенью точности, с какой выполнена линеаризация уравнений гидродинамики для звуковых волн. Для звуков большой амплитуды принцип суперпозиции неприменим.

§ 16. Волновое уравнение

Часто бывает удобно, исключая все величины, характеризующие волну, кроме одной, привести полную систему уравнений акустики к одному-единственному уравнению относительно этой величины.

Для адиабатического процесса полную систему образуют уравнения первого порядка (13.2) и (13.12), где сжимаемость есть Рад- В однородной среде величины Рад и Рц не зависят от координат; продифференцируем уравнение (13.12) по времени, переставим порядок дифференцирования скорости по времени и по пространству и заменим величину dvldt на ее значение из уравнения (13.2): =--\Р- Тогда получимуравнение

pPa«-V(Vp) = 0,

*) Напоминаем, что характеристиками волны, считаются приращения равновесных значений соответственных величин.



или, заменяя рРд на

где Д = у2 = div grad. Это - волновое уравнение для давления. В результате исключения других величин порядок уравнения повысился: волновое уравнение имеет второй порядок.

Если в той или иной задаче удалось найти решение (16.1) для давления в волне как функции координат и времени, то скорость частиц определим простой квадратурой при помощи формулы (13.3). Аналогично можно найти и другие характеристики волны (например, сжатие или изменение температуры).

Как было сказано в § 13, исходные уравнения первого порядка справедливы как в однородной, так и в любой неоднородной среде. Но волновое уравнение справедливо уже не для всех неоднородных сред. Если от координат зависит только сжимаемость среды, а невозмущенная плотность постоянна по всему пространству, то волновое уравнение сохранит свою форму.(16.1). Однако теперь это- уравнение с переменными коэффициентами, в котором величина с меняется от точки к точке и вообще не имеет смысла скорости звука в среде, потому что в такой среде волны вообще не сохраняют свою форму при распространении *).

Если от координат зависит плотность среды, то, повторяя процедуру исключения скорости частиц, придем к уравнению вида

Ap---s-VpVlnp = 0,

отличающемуся от волнового уравнения.

Волновое уравнение с переменным коэффициентом справедливо и для потенциала скоростей, если плотность постоянна по всей среде. Для того чтобы волновому уравнению удовлетворяли сжатие среды и компоненты скорости частиц, необходимо, чтобы были постоянными и сжимаемость, и плотность.

Волновое уравнение в декартовых координатах имеет вид

4- 4----П (16 2)

Если движение зависит только от одной координаты, например х, то волновое уравнение принимает вид

др 1 aV

= 0. (16.3)

*) Величину с можно считать «локальной» скоростью звука для волн высокой частоты, когда можно пренебрегать изменением с даже на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0116