Главная Общая акустика - создание упругих волн



зуются тензором напряжений: кроме нормальных напряжений (давлений), вязкость создает также и касательные напряжения. Тем не менее и в этом случае возможно ввести эффективное добавочное диссипативное давление и снова вычислять коэффициенты затухания по формулам (119.2) и (119.3). В самом деле, пусть Ojk есть тензор вязких напряжений. Как известно из гидродинамики, элементарная работа этих напряжений над частицей выражается так: -Ojkdufk, где dUjk-приращение тензора деформаций Ujk данной частицы. Но в гармонической волне все линейные величины пропорциональны друг другу. В частности, тензор деформаций пропорционален сжатию: Ujk = Ujs. Элементарную работу диссипативных сил над частицей можно поэтому записать так:

- dUjk = - Ojkajk ds = qds, (119.4)

где введено обозначение q = -Ojkajk *); эту величину можно считать эффективным значением диссипативного давления. Работа сил вязкости за период получится как площадь индикаторной диаграммы (эллипса), полуоси которого равны амплитудным значениям величин s и -Ojifljk-

В приведенных расчетах затухания мы неявно делали одно предположение: мы все время предполагали, что затухание за один цикл мало. В самом деле, по мере затухания амплитуда колебания уменьшается и, следовательно, изображающая точка на индикаторной диаграмме движется фактически не по эллипсу, а по эллиптической спирали, и вместо площади эллипса следует брать площадь, показанную на рис. 119.1, б. Но если затухание за один цикл мало, то эти площади мало различаются и нашим расчетом можно пользоваться. Практически это требование выполняется почти всегда.

§ 120. Расчет коэффициентов поглощения звука для различных механизмов поглощения

Начнем со случая внешнего трения - воздействия на частицы среды силы, направленной противоположно скорости частицы, а по величине пропорциональной этой скорости. В этой задаче можно считать, что к единичному объему среды приложена сила F = -r\v, где V- скорость объема, а т] - коэффициент трения. Силу можно рассматривать как градиент, взятый с обратным знаком, некоторого давления q - эффективного диссипативного давления, действующего в среде благодаря трению на стенках. Это добавочное давление связано е F соотношением F = -dqldx; значит, для плоской волны р = е* окажется q = -Flik = -ir\vlk.

Поскольку скорость синфазна со сжатием и пропорциональна ему, добавочное давление оказывается пропорциональным сжатию

*) Знак q выбран из тех соображений, что давление считается положительным, когда оно направлено по внутренней нормали, а величина Ojkiik положительна в противоположном случае.



среды, а по фазе отстает от сжатия на четверть периода, т. е. действительно является диссипативным давлением. Поэтому можно пользоваться формулами предыдущего параграфа: согласно (119.3)

= .=Wc- (20.1)

Замечательно, что при внешнем трении коэффициент затухания не зависит от частоты. Значит, не только гармоническая волна, но и волна любого вида распространяется в среде, испытывающей только внешнее трение, без изменения формы, а давление в ней убывает при распространении по экспоненциальному закону.

Рассмотрим теперь затухание звука, вызываемое вязкостью среды. Для плоской волны, бегущей вдоль оси х, отлична от нуля только одна из производных компонент скорости, входящих в (118.1), а именно Uj. При таком движении среды совершает работу только одна из компонент тензора напряжений, а именно Оц, причем

«и=(4ч+с).

Но в данном случае величина dvjdxi равна дивергенции скорости, так wtodvjdxx - -dsldt = ims. Следовательно, согласно (119.4),

9 = -t«>(4"n+S)s.

Величина q и есть эквивалентное диссипативное давление. Отсюда, переходя к амплитудным значениям, найдем по формуле (119.3) коэффициент поглощения звука:

«"25?-- <20-2)

Обратим внимание на получившуюся квадратичную частотную зависимость коэффициента поглощения («нормальное поглощение»). Эта зависимость приводит к тому, что при распространении в реальной среде в сложном звуке исчезают высшие гармоники, в то время как низшие частоты распространяются со сравнительно малым затуханием. Например, в большом концертном зале ясно ощущается обеднение тембра скрипки (сравнительно высокочастотный музыкальный инструмент), если перейти из первых рядов партера на галерку.

Коэффициент затухания оказался обратно пропорциональным, плотности. Это объясняется тем, что энергия в звуковой волне пропорциональна плотности среды, в то время как вязкие силы и,



следовательно, работа диссипативных сил непосредственно от плотности не зависят. В свободной атмосфере плотность воздуха быстро убывает при увеличении высоты над землей, в то время как вязкость остается неизменной. Поэтому на большой высоте поглощение звука велико и звук затухает сравнительно быстро.

Рассмотрим теперь термические механизмы поглощениязвука. И теплоизлучение, и теплопроводность-это выравнивание«адиа-батических» температурных изменений, возникающих при сжатиях и разрежениях.

При полном выравнивании температур, т. е. при [изотермическом распространении звука, поглощение отсутствовало бы

и скорость звука имела бы ньютоново значение -с„ = 1/КрР, где р - изотермическая сжимаемость. При полном отсутствии выравнивания - адиабатический процесс - поглощения также не было бы, а скорость звука имела бы лапласово значение с„ = Уу/р. В действительности температура выравнивается частично и поэтому поглощение всегда имеется.

Для механизма теплоизлучения при низких частотах скорость звука будет стремиться к значению с„, а при высоких - к с„. В самом деле, так как поток тепла меняет свое направление каждые полпериода, то выравнивание температур путем излучения успевает произойти тем в большей степени, чем больше2период колебания. Более сложно обстоит дело с теплопроводностью: здесь играет роль не только период колебания, определяющий время, в течение которого происходит выравнивание температур, но и длина волны, определяющая пространственный масштаб неравномерности выравнивающихся температур. Успевает или не успевает выровняться температура за половину периода - определится соотношением между длиной волны звука и длиной тепловой волны при данной частоте. Пока волновое число тепловой волны велико по сравнению с волновым числом для звука, выравнивание температур мало и процесс идет практически адиабатически (лапласова скорость звука). При обратном соотношении волновых чисел процесс близок к изотермическому (ньютонова скорость звука). Но волновое число звуковых волн пропорционально частоте, а волновое число тепловых волн пропорционально корню квадратному из частоты (см. § 19). Поэтому при низких частотах распространение звука происходит с лапласовой скоростью, а при высоких частотах - с ньютоновой.

Перейдем к расчетам. Начнем с механизма теплоизлучения. В обычных условиях, например при распространении звука в атмосфере, роль такого теплоизлучения невелика. Важность этого механизма с теоретической стороны заключается в том, что он дает наглядный пример релаксационного процесса, приводящего к затуханию и к дисперсии скорости звука, подчиняющимся характерным законам, одинаковым для всех релаксационных процессов.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [130] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.01