Главная Общая акустика - создание упругих волн



Напомним уравнение состояния среды для малых колебаний:

S , аТ

где а - коэффициент термического расширения. Величина s/p = = Рст сть статическое давление, а слагаемое аГ/р = р -\- q ip вещественно, q мнимо) - динамическая добавка, обусловливаемая как адиабатическим изменением температуры при сжатиях и разрежениях, так и выравниванием создающихся при этом разностей температур. При в точности изотермическом или адиабатическом процессах было бы = 0. Изменение температуры в результате теплоизлучения при постоянном сжатии определяется уравнением

f=-4- (20.3)

где Т - отклонение температуры данного тела от средней температуры среды, а т - так называемое время релаксации процесса. Интегрируя, найдем: Т = То ехр (-th), где То - значение Т в начальный момент времени. Таким образом, физический смысл т - время, в течение которого данное отклонение температуры тела от средней температуры убывает вследствие теплоизлучения в е раз.

При адиабатическом процессе р ~ ysip, откуда Т = (у - - 1) s/a.

Значит, при наличии и сжатия, и теплоизлучения температура будет определяться ypanneifeeM

dt - dt т - а dt т • {1гьл)

Умножая на а/р, получим уравнение для динамической добавки к давлению:

д(р + ч) Y- Р + Ч попк\

Ш -~Т~"дГ--i- ("•>

Обратимся к гармонической звуковой волне. Вначале рассмотрим предельные случаи «большой» и «малой» частотыГ Для этого удобно переписать (120.4) в виде

а (Г-Гад) . Т

Будем считать частоту большой, если шт > 1, а малой, если <от < 1. При больших частотах температура почти не будет успевать выравниваться, и процесс распространения будет близок



к адиабатическому. Тогда в правой части последнего равенства можно приближенно положить Т = Тд. Интегрируя, найдем

Т = Т,

Динамическая добавка к давлению, следовательно, равна

Суммарное упругое давление равно p=ysl: эффективная сжимаемость принимает адиабатическоезначение и, значит, скорость звука лапласова. Так как она соответствует предельно высоким частотам, будем обозначать эту скорость буквой Ссо. Коэффициент затухания найдем по формуле (119.3), подставляя в нее динамическое значение амплитуды упругого давления:

б»= (120.6)

2усс>.т

Замечательно, что коэффициент затухания для высоких частот не зависит от частоты: картина такая же, как и для внешнего трения с эффективным коэффициентом внешнего трения 1]эфф = = р (Y - 1)/yt.

Теперь рассмотрим случай малых частот - процесс, близкий к изотермическому. Левая часть в уравнении (120.4) мала по сравнению с каждым слагаемым правой части и можно приближенно положить Т = -t сот Гад. Упругая компонента динамического давления в этом приближении отсутствует, так что скорость звука ньютонова. Так как она соответствует предельно низким частотам, будем обозначать ее буквой Cq. Диссипативное давление равно q = aTlf) = -шт {у - 1) рт- Отсюда находим коэффициент затухания:

Частотный ход затухания на низких частотах - такой же, как и для вязкости, т. е. на низких частотах поглощение звука «нормальное». Действие теплоизлучения можно интерпретировать для низких частот как наличие некоторойобъемной вязкости

с эффективным коэффициентом вязкости дфф = ртсо {у - 1).

Полученные выражения для коэффициентов поглощения и эффективных коэффициентов вязкости удобно выразить через предельные значения скорости Со и с. В самом деле, у = cjcl-Пользуясь этим соотношением, получим для высоких частот:

6» = -=. (120.8)



Эффективный коэффициент внешнего трения равен Г1эфф = = р (с1, - со)/тс«- Для низких частот получим

\ = - (120.9>

Эффективный коэффициент объемной вязкости t, = рт (ci - со).

Последние формулы связывают поглощающие свойства жидкости с «дисперсионным скачком» квадрата скорости А (с) = = с1 - Со при переходе от малых к высоким частотам и с временем релаксации т. Эффект теплоизлучения приводит к «аномальному» поглощению: квадратичный закон затухания имеет место только на низких частотах, переходя к «насыщению» на высоких частотах.

Теперь, не ограничиваясь более предельными случаями, выясним, как происходит переход от нормального к аномальному поглощению, т. е. найдем закон изменения поглощения и скорости от частоты во всем диапазоне частот.

Уравнение (120.4) для гармонической волны принимает вид

- ml = - tco - s - -,

откуда

(022 у 1 . сот Y-1

Динамическая добавка к упругому давлению оказывается равной

, сот Y-1 .

Таким образом, скорость звука при частоте со определится из равенства

<= = = cS4± = 4 + ttS«-.8. (120.10)

Отсюда для волнового числа при данной частоте получим

. г со" l + wH .2 l-fco-T* (120 in

где ko = w/Cfl. Диссипативное давление равно

(ОТ Y ~ 1

I +(о2т» р



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0112