Главная Общая акустика - создание упругих волн



Согласно (119.3) (причем следует учесть добавку р) g (Y - 1) соЧ + (йЧЩ1 -f-усот)

2со(1+усо2т«)

(120.12)

Из этой формулы непосредственно получаются и предельные значения поглощения для высоких и низких частот, найденные выше.

с-с!


I 2 3 4

Рис. 120.1. Универсальный график относительной дисперрии при потерях в результате теплоизлучения и при любом другом релаксационном процессе.

Из уравнения (120.10) найдем относительный скачок квадрата скорости при данной частоте и:

1-1-(u2t2 •

(120.13)

График этой функции показан на рис. 120.1. Это - универсальный график, не зависящий от величины с1 - Cq. Зависимость коэффициента поглощения от т не удается представить в таком же простом виде. Может оказаться удобным представление

с -с

(c2-c2)coV/(l+Co2/x2)

(120.14)

Мы видим, что механизм потерь путем теплоизлучения сопровождается дисперсией скорости.звука. Можно доказать, что любой механизм поглощения сопровождается дисперсией. Но, как можно показать, и вязкость, и теплопроводность приводят к дисперсии в той частотной области (высокие частоты), где распространение звука уже прекращается вследствие большого затухания и поэтому практически не наблюдается. В механизме же теплоизлучения и в других релаксационных механизмах затухание может оказаться еще умеренным во всей частотной области, где имеет место заметная дисперсия скорости.



Механизм теплоизлучения - простейший пример целого ряда сходных друг с другом механизмов поглощения - так называемых релаксационных механизмов. Общей чертой всех этих механизмов является то, что динамическая добавка р q к давлению» при фиксированном сжатии спадает - «релаксирует» с течением времени, например, по экспоненциальному закону

Ж±А= Р1±±, (120.15)

где т - время релаксации. -Изменение же сжатия вызывает пропорциональное изменение динамического давления, так что в акустической волне динамическая добавка к статическому давлению удовлетворяет, как и для теплоизлучения, уравнению

±(п4-о) --L.ii £l±i di - dt т

где р - некоторая константа вещества. Это уравнение совпадает с (120.5), если положить р" = p/(v - 1). С учетом этой замены совпадут и дальнейшие расчеты. В частности, для произвольного релаксационного процесса с экспоненциальным законом релаксации имеют место полученные для релаксационного процесса частного вида (теплоизлучение) формулы (120.8)-(120.14), выражающие дисперсию и поглощение звука через предельные низкочастотные и высокочастотные значения скорости звука и время релаксации; остается в силе и график рис. 120.1.

Рассмотрим, наконец, механизм поглощения, обусловленный теплопроводностью, причем будем считать, что, как это и имеет место в действительности, до самых высоких частот выравнивание температур незначительно: процесс квазиадиабатический. Общее уравнение изменения температуры в этом случае должно учитывать адиабатическое нагревание и эффект теплопроводности при постоянном сжатии. Уравнение теплопроводности для плоской волны

dt ~ рсу дх

заменяет в этом случае уравнение теплоизлучения. Общее уравнение принимает, следовательно, вид

&г аГад d4

dt dt pcv dx • Так как процесс квазиадиабатичен, то приближенно 1-(Т - Т

dt W - pcv dx



откуда, интегрируя и подставляя Тд = s, найдем

ад"~ а

рСу 0)

Следовательно, вещественная добавка к давлению равна р = = (у - 1) s/p, а диссипативное давление равно

. к fe2 Y-1 о = -t----5-S,

Вещественная добавка к давлению получается такого жевида, как при теплоизлучении на высоких частотах; значит, скорость распространения при не слишком высоких частотах лапласова. Затухание определится все по той же формуле (119.3)

Зависимости затухания от частоты, плотности и скорости звука-такие же, как и для вязкого механизма потерь (см. (120.2)). В этом отношении влияние вязкости и теплопроводности на затухание звука неразличимы. Совместно эти два механизма приводят к суммарному коэффициенту затухания вида

в газах механизмы вязкости и теплопроводности вносят примерно одинаковый вклад в поглощение звука. В жидкостях главную роль играет вязкость; исключением является ртуть, обладающая большой теплопроводностью при сравнительно малой вязкости.

Мы показали, как, пользуясь индикаторными диаграммами, рассчитать коэффициент поглощения гармонической волны. Можно найти коэффициент поглощения и по другому пути, внося в обычную систему акустических уравнений дополнительно диссипативные силы. Оказывается, что это равносильно введению комплексной плотности или комплексной сжимаемости. В самом деле, рассмотрим например случай внешнего трения. Внешнее трение дает дополнительную силу, действующую на частицу, поэтому придется внести дополнительный член в уравнение движения. Рассмотрим для простоты одномерную задачу. Вместо обычного уравнения движения теперь придется написать

РЖ + Ж + = 0. (120.18)

Но это уравнение можно переписать в обычном виде, если учесть

I dv " I 11

ЧТО V =zZigt ввести комплексную плотность рр



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0338