Главная Общая акустика - создание упругих волн



Тогда уравнение (120.18) запишется так:

Уравнение формально вернулось к обычному виду. В частности, можно для заданной частоты найти яо обычной формуле и волновое число:

k = lppQ)2.

В развернутом виде волновое число запишется в виде

k =Уррй)2(1 +{Г1/р(0).

Если затухание мало, т. е. мнимая часть волнового числа мала по сравнению с вещественной, то k = k -\- tr]/2pc, что дает ту же величину затухания (120.1), что и найденная по способу индикаторных диаграмм.

Аналогично, если диссипативные силы связаны не со скоростью, а со сжатием среды, то их действие можно учесть, добавляя мнимую часть к сжимаемости: р = р + le. Это также приведет к появлению мнимой части в волновом числе, если снова формально воспользоваться стандартной формулой для волнового числа k =

= УрР(о*; и эта мнимая часть снова явится коэффициентом затухания волны.



ГЛАВА XIII

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ

§ 121. Волны конечной амплитуды

В гл. II мы показали, что точные уравнения гидродинамики и уравнение состояния нелинейны, и перешли от них к линейным уравнениям акустики, отбрасывая в уравнениях члены, содер-жащ,ие квадраты и произведения величин первых порядков (давление, скорость, сжатие). Для плоских волн отбрасываемые члены относились к сохраняемым как М : 1, где М - vie = Рр - число Маха. Ошибка в решениях при пренебрежении нелинейностью тем меньше, чем меньше чисЛо Маха. Однако, как правило, эта ошибка накапливается*), и поэтому при любом значении М звуковая волна по мере распространения постепенно искажается по сравнению с волной, изображаемой решением линейного уравнения. Для очень малых М звуковая волна может затухнуть прежде, чем произойдет заметное искажение. Но скорость накопления ошибки растет вместе с амплитудой волны, в то время как скорость затухания остается неизменной. Поэтому, начиная с некоторых значений числа Маха, искажение волны станет существенным даже при наличии поглощения. В таких случаях говорят о волне конечной амплитуды, в то время как при возможности пренебрежения нелинейными эффектами говорят о волне бесконечно малой амплитуды.

О количественной стороне нелинейного искажения можно судить по такому примеру. Для того чтобы нелинейное искажение плоской волны частоты 1000 гц составило по амплитуде 1 % от амплитуды волны, рассчитанной по линейной теории, расстояние, которое должна пробежать волна, составит: на пороге слышимости 3000 км; на уровне звука, соответствующем громкой речи с расстояния 1м, - 1 км; на уровне звука, соответствующем болевому порогу, - 1 м (цифры даны без учета затухания). Для расходящихся волн расстояния получились бы во много раз ббльшими. При обычной интенсивности звуков речи или музыки нелинейные искажения еще очень малы: нелинейные искажения восприятия, вносимые слуховым органом человека, значительно больше, чем искажения при распространении. Но при звуках

*) В §§ 129, 130 указаны важные исключения.



высокой интенсивности - при звуках выстрелов, взрывов, реактивных струй, при обтекании сверхзвуковых самолетов, в мощном ультразвуке, используемом в технологических процессах, - нелинейные эффекты сильны.

При числах Маха порядка единицы или больших единицы линеаризованные уравнения совсем непригодны для описания волн. Непригодны они и в случаях, когда распространение волны, даже при небольших числах Маха, прослеживается на большом расстоянии или в течение долгого времени. Если нелинейные искажения велики, то приходится совсем отказываться от линеаризации уравнений и искать решения исходных нелинейных уравнений. При малой нелинейности можно ограничиться поправками к решению линеаризованных уравнений. Первый случай более труден и получить требуемое решение удается только в простейших случаях. Один такой случай рассмотрим в следующем параграфе. Во всей главе не будем учитывать поглощение.

§ 122. Плоская бегущая волна конечной амплитуды (точное решение)

Приведем точное решение задачи о плоской бегущей волне конечной амплитуды. В отличие от линеаризованной задачи, профиль волны конечной амплитуды изменяется при распространении. Поэтому для такой волны неприменимо понятие скорости волны, в котором профиль волны считается перемещающимся как твердое тело. Оказывается, однако, что каждая точка профиля бегущей плоской волны, т. е. место с определенным значением звукового давления, перемещается при распространении волны с постоянной скоростью; при этом скорость различна для разных значений давления - тем больше, чем больше давление. Найдем, какова эта скорость для разных значений давления; тогда сможем найти, как меняется профиль волны по мере распространения.

Пусть в данный момент форма профиля волны конечной амплитуды задана. Будем рассматривать каждый участок профиля как малое возмущение, наложенное на среду, находящуюся при некотором звуковом давлении р (среднее давление на рассматриваемом участке) и имеющую в целом некоторую скорость v (средняя скорость частиц на участке) относительно невозмущенной среды. Сами эти средние давления и скорости частиц меняются от участка к участку.

На данном участке скорость малых возмущений относительно среды равна с = Ydp/dp, где производная взята для значения р, соответствующего среднему состоянию среды на данном участке (а не невозмущенному состоянию, как в линейной акустике). Так как это малое возмущение переносится средой со скоростью v, то суммарная скорость возмущения относительно невозмущенной среды (это и есть скорость точки профиля, в которой давление имеет данное значение) равна с + v. Величина с зависит только



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [133] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0102