Главная Общая акустика - создание упругих волн



от давления в данном месте. Покажем, что в бегущей волне ско-4)0сть частиц также зависит только от давления.

В самом деле, рассмотрим малое возмущение в виде бегущей волны, наложенное на бегущую в ту же сторону волну конечной-амплитуды. Давление бр и скорость частиц б у этого малого возмущения (добавляющиеся к средним значениям р и у в исходной волне конечной амплитуды) должны быть связаны соотношением 8v = 8р1рс. Но рис зависят только от давления р. Значит, приращения бр и 8v можно считать дифференциалами полного давления и полной скорости частиц в волне конечной амплитуды: dv = dpipc, откуда, интегрируя, найдем

(122.1>

Таким образом, бегущую волну конечной амплитуды можно записать в виде

р = р 1х(с+ V) t], . (122.2).

где с п V являются функциями самого давления р. Это - обобщение решения для волн бесконечно малой амплитуды, распространенное на волны конечной амплитуды. Очевидно, скорость частиц выразится аналогичной формулой

V = V 1х - (с + V) t].

Конкретная зависимость с и о от давления определяется свойствами среды (уравнением состояния). Найдем соответственные выражения для идеального газа. Так как волна распространяется практически адиабатически, то уравнение состояния можно-записать в виде

Р { Р у

где Ро и Ро - давление и плотность невозмущенной среды и-Р = Ро + р- Скорость с малого возмущения при среднем давлении среды Ро + р определится из уравнения

откуда

Р I

V/V-1

где Со = lY-Pfl/Po - скорость малых возмущений относительно-невозмущенной среды при давлении Ро-

Скорость мадах возмущений оказалась зависящей: от уже имеющегося давления, что на первый взгляд противоречит резуль-



тату § 14 о независимости скорости звука от давления газа, Дело в том, что в § 14 газ рассматривался при разном давлении, но при одной и той же температуре. Здесь же, в волне, газ оказывается сжатым адиабатически и его температура, а вместе с тем и скорость малых возмущений растет с давлением.

Выполним в интеграле (122.1) замену переменной интегрирования, принимая за новую переменную скорость малого возмущения с. Из (122.3) имеем:

Y

/ с2 \

i/(v-i)

d(c).

/ С2 \ 1/(V-1)

Р = Ро

Подставляяв (122.1), найдем

dp рс

откуда с = Со + V {у - 1)/2. Это есть скорость малого возмущения, распространяющегося поверх волны конечной амплитуды, имеющей в данной точке звуковое давление р = Р - Ро-Скорость же ординаты профиля с этим давлением равна, согласно сказанному выше,

+ f = c.-b5Liii, = Co(i-f4-!M).

(122.4)

Таким образом, профиль волны конечной амплитуды в идеальном газе изменяетсяпри распространении волны по закону

(122.5)

р = р[х~Со{1+Цм)( .

Зная зависимость си v от р, можем строить изменяющийся профиль волны по мере ее распространения. Каждая точка профиля переносится за время t на расстояние (с + v) t (для идеального газа - на расстояние Сд [1 + М (у + 1)/2] t). Построение нового профиля по старому показано на рис. 122.1. Профиль меняется так, что участки с большим давлением обгоняют участки с меньшим давлением. Отсюда следует, в частности, что приведенный выше расчет не может применяться неограниченно: крутизна переднего склона фронта будет все время нарастать, и, как показывает рис. 122. , если продолжать построение, то получится неоднозначность давления вблизи переднего фронта волны.

В действительности, конечно, неоднозначности не получается; образуется скачок давления на переднем фронте. Начиная с этого момента обычные уравнения гидродинамики идеальной жидкости



делаются неприменимыми: необходимо учитывать поглощение, особенно большое вблизи фронта ввиду больших градиентов скорости и температуры. При больших числах Маха и этого оказывается недостаточно и приходится переходить к молекулярно-кинетическим представлениям. В газе ширина области скачка, где неприменимы уравнения гидродинамики, оказывается для больших чисел Маха по порядку величины равной длине свободного пробега молекул. Скачок вызывает большое поглощение акустической энергии, приводящее к быстрому затуханию волны после образования скачка.

Выражение (122.2) можно представить в виде




р = р [х - Cot -

- (с - Со + V) t],

где при М < 1 вели-чину в круглых скобках можно считать про- Рис. 122.1. Последовательные «моментальные порциональной числу фотографии» профиля волны, бегущей вправо. Маха Разложим это Форма в невозможна: еще до ее наступления в пыпяжрчир R пяп пп месте, где возникла бы двухзначность давления, выражение в ряд но образуется вертикальный фронт, что соответ-СТепеням (с - Со + V) t ствует скачку давления - разрыву непрерыв-и ограничимся первыми ности давления, двумя членами:

р = p{x - Cof){c - Co+ V) tpx {х - Cot) (122.6)

(частные производные будем обозначать в этой главе соответственными индексами). Волна конечной амплитуды оказывается в этом приближении представленной в виде суммы двух членов: волны малой амплитуды р = р (х -Cq) с формой профиля, соответствующей начальному моменту времени (относительная амплитуда равна числу Маха) и распространяющейся по законам линейной акустики, и добавочной волны с амплитудой, пропорциональной квадрату числа Маха:

р" = - (с - Со + о) tpx {X - Cot) = -i- (с - Со + и) tpt {X - Cot).

Этот добавочный член называют поэтому квадратичной поправкой к члену первого порядка - решению р линеаризованного уравнения. Квадратичная поправка является в данном случае вековым членом в решении: она нарастает пропорционально прошедшему времени. Пока квадратичная поправка мала, она достаточно хорошо представляет изменение профиля волны конечной амплитуды. Ясно, что данное решение в виде суммы линейного решения и квадратичной цоправки может годиться только на начальном



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0284