Главная Общая акустика - создание упругих волн



этапе распространения волны: рост векового члена приведет к тому, чтовыбранное приближение станет с течением времени неприменимым.

Квадратичную добавку удобно переписать иначе. Для малых чисел Маха приближенно

(dc у. , 1 ,

Следовательно, с принятой степенью точности

(d \

ЗРоо

Нуль в индексе при производных означает, что производные берутся в точке р = О,

§ 123. Нахождение квадратичной поправки методом малых возмущений

Точные решения нелинейных уравнений удается получить только в малом числе случаев. Случай плоской бегущей волны, рассмотренный в предыдущем параграфе, - один из немногих примеров такого решения. Зная точное решение, конечно, легко получить и приближенное (например, квадратичную поправку), как это также было показано в предыдущем параграфе. Но в других случаях точные решения не найдены и приходится ограничиваться приближенными решениями.

Если число Маха мало по сравнению с единицей и если волну рассматривают в течение не слишком долгого времени или на не слишком большом участке ее распространения, то можно учесть нелинейность путем введения малой поправки к решению линеаризованного уравнения, отыскивая поправку методом малых возмущений. Для этого как члены в точном уравнении, так и искомое решение представляют в виде ряда по степеням малого параметра - числа Маха - и, разделяя в уравнениях члены разных порядков, отыскивают последовательные члены решения. Следует иметь в виду, что в воздухе число Маха не превышает 0,0015 даже для болевого порога, поэтому число Маха действительно можно считать в ряде случаев малым параметром задачи.

В дальнейшем мы будем ограничиваться нахождением только второго члена - квадратичной поправки к решению линеаризованных уравнений. Вообще говоря, нахождение последовательных членов разложения сводится к решению линейных задач: к нахождению звукового поля в линейном приближении, вызванного сторонними источниками звука (сторонними объемными скоростями и сторонними силами), определяемыми предыдущими членами разложения. В первом приближении метода малых возмущений, когда помимо линейных членов удерживаются только члены второго порядка по числу Маха, сторонние источники опре-



деляются квадратами и произведениями величин первого приближения. Получающаяся квадратичная поправка обычно дает " указание и на поведение волны в высших приближениях: пока поправка остается малой по сравнению с членом первого порядка, высшими членами разложения можно, как правило, пренебрегать.

Формально нахождение квадратичной поправки аналогично методу определения рассеянного поля в среде со слабыми неодно-родностями (см. § П4). В обоих случаях нахождение дополнительного поля (нелинейной поправки - в одном случае и рассеянного поля - в другом) заменяется нахождением поля в линей- * ной (соответственно однородной) среде, создаваемого сторонними источниками звука, зависящими от исходного поля.

В обоих случаях поправка мала, но накапливается, и поэтому рано или поздно эффект делается велик и расчет перестает быть применимым. Но при рассеянии на статистических неоднородностях фазы рассеянных волн случайны и нарастание поправки происходит медленно - пропорционально корню квадратному из времени распространения или из длины пробега волны. В нелинейном же эффекте добавочные поля складываются в фазе друг с другом и поправка растет быстрее: пропорционально самому времени или длине пробега. Поэтому время или длина пробега, для которых метод малых возмущений применим, в нелинейных задачах меньше, чем в задачах о рассеянии.

Встречаются различные акустические ситуации, в которых задачу о нахождении квадратичной поправки к заданному полю первого порядка приходится ставить по-разному. Так, может оказаться, что задано поле в некоторый момент времени t. Тогда это поле можно принять за поле первого порядка, полагая поле второго порядка в начальный момент равным нулю, и искать, как оно меняется с течением времени.

В другой постановке может быть задано давление, создаваемое на поверхности излучателя звука (например, колеблющегося поршня). Тогда поле, создаваемое на излучателе, взятое в линейном приближении, можно принять за поле первого порядка, а квадратичную поправку к давлению принять на поверхности поршня равной нулю; задача будет состоять в этом случае в нахождении поправки к давлению во всем остальном пространстве. Заметим, что в этой задаче квадратичная поправка к смещению поршня уже не равна нулю.

В третьей постановке задачи можно принять за величину первого порядка заданное смещение поршня, так что квадратичную поправку к смеш;ению на поршне следует принять равной нулю. Задача в этом случае состоит в отыскании поправки к давлению, определенному по линейной теории, во всем пространстве, в том числе и на самой поверхности поршня, где квадратичная поправка к давлению, рассчитанному по линейной теории, не будет равна нулю. Возможны и другие варианты постановки задачи.



§ 124. Квадратичная поправка в плоской волне

Простейшая задача нелинейной акустики - нахождение квадратичной поправки для плоской волны. Для этого удобно пользоваться лагранжевыми координатами. Дело в том, что граница жидкости (например, свободная граница) задается фиксированным значением лагранжевой координаты независимо от того, применяем мы линеаризацию или пользуемся точными уравнениями. В эйлеровых же координатах при учете квадратичной поправки следует относить граничное условие к переменному значению координаты, учитывая смещение границы, имеющее порядок, как мы видели в § 41, как раз тех квадратичных величин в уравнениях, которыми мы раньше пренебрегали.

Напишем раньше всего точные уравнения для одномерной задачи в лагранжевых координатах. Масса элемента среды, заключенного между плоскостями а и а + da, равна роа, где ро - невозмущенная плотность среды. Давления на плоскостях, ограничивающих элемент, равны соответственно р и р + Pgda; значит, результирующая сила, действующая на данный элемент, равна -Pada. Обозначая смещение элемента через g = g (а, t), получим уравнение движения элемента в виде

Pog« + Ра = 0. (124.1)

Точное уравнение движения оказалось линейным.

Длина данного элемента, в невозмущенном состоянии равная da, окажется после возмущения равной da (1 -Ь gj. Значит, закон сохранения массы выразится формулой

Poda = р (1 -f la) da,

где р - плотность элемента после деформации. Это уравнение можно записать в виде

ga = -- (124.2)

Уравнение сохранения массы оказалось нелинейным. Наконец, уравнение состояния даст (нелинейную) зависимость плотности от давления

р = р (Р)

(мы предполагаем, как обычно, что плотность среды зависит только от давления в данной точке).

Теперь напишем приближенные уравнения, разлагая точные значения звукового давления р, смещения g и приращения плотности р - pfl в ряд по степеням числа Маха (или другой величины, пропорциональной числу Маха) и ограничиваясь членами первого порядка (линейное приближение) и второго порядка (квадратичная поправка). Величинами третьего порядка здесь и ниже будем пренебрегать. Линейные величины будем обозна-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0115