Главная Общая акустика - создание упругих волн



чать одним штрихом, а квадратичные-двумя. Очевидно, уравнения можно будет написать отдельно для линейных и отдельно для квадратичных величин. Итак, пусть

Р = Р + Р", g = Г + г.

р-Ро = р + р". (124.3)

В уравнении состояния напишем изменение плотности в виде ряда по степеням давления и, опуская члены третьего порядка, •ограничимся первыми двумя слагаемыми:

р р.=+р.=(* ) (р.+)+ ©). <2")

Производные следует брать в точке р + р = О, так что здесь (-jo образом,

- с1+ 2 \ dp )оР - d 24 Up jo • -f

Подставляя (124.3) и (124.4) в уравнения (124.1) и (124.2), разделяя в этих уравнениях члены первого и второго порядков и опуская члены высших порядков, найдем следующие полные системы уравнений для величин первого и второго порядков:

ро1и + Ра = 0, Ро5а + р = 0,

Р-Р=0;

(124.6)

Ро« + Ра = о, РоЫ-р =

2 V dp JqP - 2 с*\ dp JqP

(124.7)

Удобно привести каждую из систем к одному уравнению, исключая две из величин р, р и оставляя только одну из них. Так, одно уравнение для давления получим, дифференцируя в каждой из систем (124.6) и (124.7) первое уравнение один раз по координате, второе и третье - дважды по времени и вычитая первое из суммы последних. Для давления первого порядка полу-



чится обычное волновое уравнение в одном измерении, написанное в лагранжевых координатах:

Ptt-(baa = 0. (124.8)

Для давления второго порядка придем, пользуясь также последним уравнением (124.6), к уравнению

Pu-aa = G{p%t, (124.9)

где так называемый коэффициент нелинейности G равен

Заметим, что при линеаризации можно было не делать различия между записью в лагранжевых и в эйлеровых координатах и, например, не различать решения в виде бегущей волны вида р (t- а/сд) а р (t - xIcq) соответственно. Но теперь, когда нас интересует и второй порядок величин, различие следует учитывать и, переходя от лагранжевых к эйлеровым координатам, нельзя в выражении для волны просто заменить а на х, а необходимо еще ввести поправку второго порядка. Конечно, выбор в качестве первого приближения решения волнового уравнения, написанного в лагранжевых координатах, не обязателен; за первое приближение можно было,бы принять (в случае бегущей волны) не р {t-а/со), а р (t-х/со)- Но соответственно пришлось бы изменить и квадратичную поправку; сумма поправочного члена с линейным решением должна в обоих случаях дать одну и ту же величину с точностью до членов высшего порядка малости.

Так как лагранжева (а) и эйлерова (д:) координаты частиц связаны соотношением

л: = а + Е.

то волну первого порядка, заданную в лагранжевых координатах, можно с точностью до второго порядка малости выразить следующим образом в эйлеровых координатах:

pit, a)p{t,x)-lpx{t,x).

Обратно, волна, заданная в эйлеровых координатах, выразится в лагранжевых координатах так:

р {t,x) = p{t,a)lpa{t, а).

Для бегущих волн полученные формулы преобразования координат можно записать в следующем виде:

р it - ale) = p{t- xlc) - Ipx (t - Xlc) =

= p{t-xlc) + {llc)pt{t-xjc), P {t - xlc) = p{t - alc)-yipa{t - alc) =

= p{t- ale) - (g/c)>; {t - ale).



чится обычное волновое уравнение в одном измерении, написанное в лагранжевых координатах:

Ptt-(baa = 0. (124.8)

Для давления второго порядка придем, пользуясь также последним уравнением (124.6), к уравнению

Pu-aa = G{p%t, (124.9)

где так называемый коэффициент нелинейности G равен

Заметим, что при линеаризации можно было не делать различия между записью в лагранжевых и в эйлеровых координатах и, например, не различать решения в виде бегущей волны вида р (t- а/сд) а р (t - xIcq) соответственно. Но теперь, когда нас интересует и второй порядок величин, различие следует учитывать и, переходя от лагранжевых к эйлеровым координатам, нельзя в выражении для волны просто заменить а на х, а необходимо еще ввести поправку второго порядка. Конечно, выбор в качестве первого приближения решения волнового уравнения, написанного в лагранжевых координатах, не обязателен; за первое приближение можно было!,бы принять (в случае бегущей волны) не р (t-а/со), а р (t-х/со)- Но соответственно пришлось бы изменить и квадратичную поправку; сумма поправочного члена с линейным решением должна в обоих случаях дать одну и ту же величину с точностью до членов высшего порядка малости.

Так как лагранжева (а) и эйлерова (х) координаты частиц связаны соотношением

x = ai-l,

то волну первого порядка, заданную в лагранжевых координатах, можно с точностью до второго порядка малости выразить следующим образом в эйлеровых координатах:

pit, a)p{t,x)-lpx{t,x).

Обратно, волна, заданная в эйлеровых координатах, выразится в лагранжевых координатах так:

р {t,x) = p{t,a)lpa{t, а).

Для бегущих волн полученные формулы преобразования координат можно записать в следующем видег

р it - ale) = p{t- xlc) - Ipx (t - Xlc) =

= p{t-xlc) + {llc)pt{t-xlc), P {t - xlc) = p{t - alc) + lPait - alc) =

= p{t- ale) - (g/c)>; {t - ajc).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0121