Главная Общая акустика - создание упругих волн



нения. Именно, правая часть соответствует сторонним источникам звука с объемными скоростями, распределенными с плотностью

=[-)Ь+{тр)о]"* = "*- (12*-1>

Поэтому можно заменить задачу о нахождении нелинейной квадратичной поправки линейной задачей о поле монопольных источников, распределенных по закону (124.13).

В некоторых случаях ставится задача о нахождении квадратичной поправки не к давлению, а к смещению частиц или к степени сжатия среды. Соответственные уравнения можно получить по-прежнему из полной системы уравнений (124.6) и (124.7), исключая соответственно величины р" и р" или величины р и 1". В результате получаются следующие уравнения первого и второго порядков:

для смещения

соаа = 1

2,- (Роо) п

(124.14)

для приращения плотности

Pit - сораа = О,

2 " 1 / 2\ , в / dc \ / 2\

Ptt- СоРаа =~КР )tt+-2\dp)»

(124.15)

§ 125. Квадратичная поправка для бетущек плоской волны

Будем искать квадратичную поправку для бегущей плоской волны при различных акустических ситуациях. Для бегущей волны правая часть уравнения (124.9) всегда является решением этого же уравнения без правой части:

{р%-с1{р%а = 0.

Пользуясь этим соотношением, можно переписать (124.9) в виде

Pu-clp:a=4G(p)aa. (125.1)

Это уравнение можно интерпретировать как одномерное уравнение линейной акустики при действии на среду сторонних сил, распределенных с объемной плотностью

f = -G{p\. - (125.2)

Таким образом, для бегущей плоской волны квадратичную поправку можно рассматривать как результат действия в линей-



ной среде либо сторонних источников объемной скорости (124.13), либо сторонних сил (125.2). Для произвольной одномерной волны возможна только первая интерпретация. В различных случаях бывает удобно пользоваться либо одной, либо другой интерпретацией. /

Рассмотрим сначала ситуацию, в которой в начальный момент = О задано:

р =Р {t + alco); Р = 0.

Квадратичная поправка в данном случае - это частное решение (124.9), которое в начальный момент обращается в нуль. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что таким решением является нарастающая волна

p" = ±Gt {р% =-~t ip%. (125.3)

Поправка оказывается вековым членом, потому что правая часть уравнения для поправки является решением однородного уравнения. В этом отношении явление сходно с процессом раскачки резонатора сторонней силой резонансной частоты. В данном случае совпадают не только частоты, как в задаче о резонаторе, но и скорости распространения стороннего воздействия и создаваемой этим воздействием волны, которая и является квадратичной поправкой: фазовые соотношения между волной и сторонним воздействием все время сохраняются и над возникающей волной все время производится работа одного и того же знака, что и приводит к нарастанию поправки. Для волны синусоидального типа

р* = Ро sin {at - ka) уравнение (124.9) принимает вид

Ри - clpaa = 2poG(u COS (2(й/ - 2ka), (125.4)

откуда

р" = -i- plGat Sin {2at - 2ka). (125.5)

В каждый момент времени />0 квадратичная поправка-это синусоидальная же волна, но с длиной волны, равной половине длины волны в исходном звуковом поле. Временная зависимость давления в каждой точке-не синусоидальная. Имеет смысл, применяя неточную, но ходовую терминологию, называть квадратичную поправку гармонической волной двойной частоты или второй гармоникой исходной волны, приписывая ей «переменную амплитуду» (1/2) рОЫ, растущую пропорционально времени. Исходную волну удобно называть первой гармоникой. Такая трактовка имеет смысл только в том случае, когда нарастание амплитуды за один период мало по сравнению с самой амплитудой, т. е. при &)/>!.

14» 419



Нарастание второй гармоники происходит за счет энергии исходной волны, амплитуда которой вследствие такой перекачки энергии будет уменьшаться с течением времени. Поэтому пользоваться методом малых возмущений, в котором для расчета квадратичной поправки принимается, что исходная волна практически не меняется с течением времени, можно только до тех пор, пока энергия поправки остается относительно малой. Это аналогично условию применимости метода малых возмущений в теории рассеяния: требованию малости рассеянного поля по сравнению с первичным. Если указанное требование выполнено, то можно найти (малое) ослабление исходной волны, вызванное перекачкой ее энергии во вторую гармонику (см. § 127).

Отношение амплитуды второй гармоники к амплитуде первой гармоники равно

= -Lp,Gat = npoGN, (125.6)

где Л- число периодов, протекших от начального момента.

Скорость нарастания относительного значения квадратичной поправки тем больше, чем выше частота. Изменение этого относительного значения за один период от частоты не зависит. Для идеального газа

= -1."(7+1)МЛ.

Рассмотрим теперь другую акустическую ситуацию: работу излучателя, создающего в данной точке заданное давление. Пусть, например, поршень, колеблющийся в трубе, создает на своей поверхности, имеющей лагранжеву координату а = О, давление р (t). В линейном приближении в трубе создается волна вида р (t- а/с). Квадратичная поправка должна, удовлетворяя уравнению (125.1), обращаться в нуль на поверхности поршня: р" = О при а = 0. Аналогично предыдущей задаче непосредственной подстановкой убедимся, что искомое решение имеет вид

р" = -4-0а(р% (125.7)

Например, для синусоидального закона изменения давления на поршне Ро sm at имеем р = ро sin {at- ka) и

р" =-plGka sin {2at-2ka). (125.8)

В этом случае квадратичную поправку можно считать второй гармоникой с амплитудой (1/2) plGka, не зависящей от времени и растущей пропорционально расстоянию от поршня. Поправка является в решении вековым членом относительно координаты.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [137] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.016