Главная Общая акустика - создание упругих волн



Отношение амплитуд второй и первой гармоник выражается формулой, аналогичной (125.6):

Р" =p,Gka = npoGN. (125.9)

где N - число длин волн первой гармоники, укладывающихся на расстоянии от излучателя до рассматриваемой точки.

Движение поршня в этой задаче не синусоидально. Действительно, подставляя найденное решение в первое уравнение (124.7), найдем для точки а = О

что даст для рассматриваемого случая квадратичную поправку к смещению, равную

Поскольку смещение первого порядка равно в этом случае

то отношение амплитуд смещения для поправки и основного колебания равно \ = poG/8.

В качестве еще одного варианта постановки задачи примем за величину первого порядка заданное смещение поршня I (t), считая дополнительным условием задачи равенство 1" = О в точке а = 0. Из первого уравнения (124.7) видно, что при этом условии будет также ра = О при а = 0. Смещение в волне первого порядка равно в данном случае I (t - а/с). Соответственная величина давления первого порядка равна р = PoColt- Простой подстановкой хнова легко проверить, что искомое решение имеет вид

Р" = - 4 Ga{p\-y-Gp\ (125.10)

Важно отметить, что, в отличие от линейного приближения, в приближении, учитывающем квадратичную поправку, интегральный импульс давления в бегущей волне не равен нулю даже при результирующем смещении поршня, обращающемся в нуль. В самом деле, пусть в точке а = О выполняется равенство

Интеграл от р по времени в бесконечных пределах равен нулю. Обратится в нуль после интегрирования по времени в бесконечных пределах и первый член справа в (125.10) для бегущей волны



(этот член можно представить как производную по времени). Последний же член справа существенно положителен и при интегрировании даст величину, отличную от нуля. Этот интеграл и будет представлять собой импульс давления за время возвращения поршня в исходное положение.

Так, например, для синусоидального движения поршня I = = 1о sin (i>t (при I" = О для а = 0) давление первого порядка есть р = Ро cos at, а квадратичная поправка равна

р = PoG [1 -f cos {2at - 2ka) - 2ka sin (2©/ - 2ka)],

где po = юрсо - амплитуда давления первого порядка на поршне.

Следовательно, поршень испытывает добавочное давление второго порядка, равное(1/4) ро G (1 -{-cos 2at). Результирующее давление на поршень складывается, таким образом, из синусоидального давления первого порядка, синусоидального же давления второго порядка двойной частоты и, наконец, постоянной составляющей также второго порядка. Усредненное по времени значение давления, действующего на поршень, движущийся Синусоидально, равно (1/4) poG. То же значение имеет среднее по времени давление и для любой другой частицы среды.

§ 126. Нелинейное взаимодействие волнс Акустическое детектирование

Для плоских волн, бегущих по одному и тому же направлению, нелинейные эффекты неаддитивны. Если первое приближение есть сумма двух волн, р = pi + ръ то нелинейный эффект не есть сумма квадратичных поправок р! и pi, которые возникали бы при распространении каждой из волн р{ н pi в отдельности. В самом деле, рассмотрим для определенности ситуацию с заданным давлением pl + p на излучателе. Формула (125.7) в этом случае даст

P=--Ga{p[%-X.Ga(p2\- GaipA- (126.1)

Первые два члена - квадратичные поправки для каждой волны в отдельности. Добавочный вековой член рп = -Ga {plpDa оказывается зависящим от обеих волн первого порядка одновременно. Его появление - результат нелинейного взаимодействия волн - нарушает принцип суперпозиции, справедливый для линейного случая.

Например, нелинейное взаимодействие двух гармонических волн приводит к появлению добавочных (к гармоникам двойной частоты) волн суммарной и разностной частот. В самом деле, подставляя в (126.1) величины

р[ = рю sin (coi - kid) и р2 = Р20 sin (©2 - ka),



получим

р" = ploGkia sin (2©!/ - 2kia) -f ploGkid sin {2ш4 - 2k2a) - --\-PwPiiiG {kl - k,) a sin l(coi - c02) / - {kl - ki) a] +

+ 4 Pop2oG {kl + A,) a Sin [(0)1 + ©2) - (Ai + A,) a]. (126.2)

Удваиваются, складываются и вычитаются как частоты, так и соответственные волновые числа. Амплитуды отдельных компонент пропорциональны соответственным квадратам и произведениям амплитуд волн первого приближения, а также волновым числам (или частотам) компонент. Поэтому нелинейные гармоники более высоких частот имеют относительно большую амплитуду: амплитуда гармоники суммарной частоты больше, чем амплитуда гармоники разностной частоты.

Аналогично можно найти квадратичную поправку и для волны первого порядка, заданной в виде суммы многих гармоник разной частоты, а также для волны со сплошным спектром. В спектр квадратичной поправки войдут все волны двойной частоты пэ отношению к каждой компоненте первого порядка и, сверх того, все волны суммарных и разностных частот для каждой пары гармонических компонент исходной волны.

Как интересный частный случай рассмотрим демодуляцию модулированной волны первого порядка, осуществляемую в квадратичной поправке. Пусть, например, волна первого приближения- это гармоническая волна, модулированная по амплитуде с частотой Q:

р = Ро sin {Ш - ka) [1 -Ь р cos {Qt - Ка) ],

где QIK = Cg. Представим ее в виде суммы волны несущей частоты и двух боковых частот:

р = Ре sin (со/ - ka)+ рро sin [{а-\-Q) t - {k-\-К) а]-\-

+ Sin [{(o-Q)t-{k - K) а].

Согласно найденному выше квадратичная поправка будет содержать частоты

2(0, 2 ((О + Q), 2 (о) - Q), 2(0 -f Q, 2(0 - fi, 2Q, Q.

Слагаемое с частотой Q имеет вид

Р(й) = 4- VpoGKa sin {Qt - Ка).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [138] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0126