Главная Общая акустика - создание упругих волн



Таким образом, нелинейный характер распространения приводит к созданию волны модулирующей частоты в числе гармонических компонент квадратичной поправки, аналогично тому, как детектирование из гармонически модулированного колебания создает гармоническое колебание модулирующей частоты. Этот процесс можно называть акустическим детектированием.

§ 127 Затухание волн конечной амплитуды, обусловленное нелинейностью

Для волн конечной амплитуды распространение сопровождается затуханием, не связанным с поглощением энергии, а обусловленным переходом части энергии исходной волны в волну квадратичной поправки. Принятый нами метод расчета квадратичной поправки не позволяет найти это затухание непосредственно. С таким же положением вещей мы встречались в вопросе о затухании волны, распространяющейся в слабо рассеивающей среде и теряющей свою энергию на создание рассеянных волн. Как в задаче о рассеянии, так и в задаче о распространении волн конечной амплитуды метод малых возмущений позволяет (со всеми оговорками о малости эффекта рассеяния или соответственно нелинейности) найти с достаточной точностью добавочное поле, но он совершенно не учитывает обратного воздействия возникающих волн на исходную волну, которое и приводит к ее затуханию. В задаче о рассеянии мы все же нашли искомое затухание, применив закон сохранения энергии: суммарная энергия падающей и рассеянной волн должна была оставаться постоянной. Аналогичный прием применим и в задаче о нелинейности: в отсутствие поглощения энергия волны квадратичной поправки в сумме с энергией волны первого приближения должна сохраняться.

Рассмотрим в качестве волны первого приближения бегущую плоскую волну, излучаемую поршнем, создающим в данной точке а = О гармоническое давление ро sin со. В этом случае амплитуда второй гармоники оказывается, согласно (125.8), равной /poGka. Плотность потока мощности этой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды iUplGkaf. Значит, эта величина вычтется из плотности потока мощности исходной волны, пропорционального квадрату исходной амплитуды р. Оставшаяся плотность потока мощности пропорциональна р1 [\ - - uPoGkaY]. Извлекая корень квадратный из этой величины, найдем амплитуду исходной волны, уменьшившуюся вследствие затухания. Ввиду предположенной малости амплитуды второй гармоники по сравнению с амплитудой исходной волны имеем приближенно для амплитуды исходной волны на расстоянии а. от излучателя

рра\\ Lp2G(H] =Po(l --Y nGVoNy




где N - расстояние от излучателя, выраженное в длинах исходной волны.

Таким образом, уменьшение амплитуды пропорционально квадрату пути, пройденного волной: по мере нарастания второй гармоники энергия отбирается от первой гармоники и передается второй гармонике все быстрее и быстрее. В этом принципиальное отличие хода нелинейного затухания от затухания, вызванного поглощением энергии в среде или рассеянием на малых неоднородностях, для которых затухание не зависит от амплитуды исходной волны и пропорционально длине пути, пройденного волной. Нелинейное же затухание оказывается пропорциональным теперь квадрату амплитуды и квадрату длины пройденного пути (напоминаем, что все сказанное относится только к начальным участкам распространения, когда при расчете квадратичной поправки еще можно считать амплитуду исходной волны неизменной и, исходя из полученного результата, рассчитывать уменьшение амплитуды).

На рис. 127.1 даны примерные графики начального хода затухания амплитуды волны, вызванного нелинейностью (парабола а) и линейным поглощением или рассеянием (экспонента б). Ясно, что уменьшение амплитуды волны, обусловленное нелинейностью, нельзя охарактеризовать коэффициентом затухания.

В разобранном случае задача состояла в нахождении пространственного нелинейного затухания. В другой постановке задачи, при задании начального условия р" = О при t = О, придем к временному нелинейному затуханию. Если исходная волна в момент времени t = О задана в виде

р = Ра sin {at - ka),

то, как нетрудно показать, в результате перекачки ее энергии во вторую гармонику амплитуда будет уменьшаться с течением времени по закону

р = ро [1 -i-plG{<otf] =ро(1-пЖм),

Рис. 127.1. Зависимость амплитуды гармонической волны от длины пробегадля нелинейного затухания (а) и для линейного поглощения звука (б).

где N - Протекшее время, выраженное в периодах волны.

Нелинейность не только вызывает переход энергии из волны в ее квадратичную гармонику, что не связано с уменьшением суммарной акустической энергии; она вызывает и ускоренное поглощение звуковой энергии и переход ее в тепло. В самом деле, во всякой реальной среде имеется поглощение звуковой энергии,



и, как правило, чем выше частота, тем это поглощение происходит быстрее. Значит, энергия, переходящая из данной волны в ее гармонику, будет поглощена в среде быстрее, чем она поглощалась бы, оставаясь в волне основной частоты.

§ 128. О нелинейных поправках высших порядков

Учет квадратичной поправки - это по существу учет второго члена в разложении решения точных уравнений гидродинамики по малому параметру - числу Маха. На начальных стадиях процесса (например, на малых расстояниях от излучателя), когда квадратичная поправка еще мала, сумма первого приближения и квадратичной поправки еще достаточно хорошо описывает точное решение, но на большом расстоянии от излучателя расчет с точностью до квадрата числа Маха уже делается недостаточно точным и следует учесть следующий член разложения, пропорциональный кубу числа Маха, затем член с М* и т. д.

Физически это значит, что по мере распространения в волне будут появляться компоненты все новых частот - спектр волны будет обогащаться. При этом волны высших порядков будут возникать как непосредственно из волны первого порядка, так и в результате нелинейного взаимодействия между волной первого и второго порядка (что даст третью гармонику исходной волны как волну суммарной частоты), первого и третьего порядка (что даст четвертую гармонику как волну суммарной частоты и снова вторую гармонику - как волну разностной частоты) и т. д. Появятся также составляющие волн высших порядков, обязанные тройному нелинейному взаимодействию между уже образовавшимися гармониками, например, шестая гармоника - как результат взаимодействия второй и третьей гармоник и исходной волны. Все это приведет к тому, что энергия будет постепенно перетекать из исходной гармоники и гармоник низших порядков во все более и более высокие гармоники.

Создание новых гармоник качественно можно представить себе так же, как и создание второй гармоники. Уравнение для гармоники какого-либо номера можно будет записать как уравнение для линейной среды, но с правой частью, в которой будут стоять степени и произведения гармоник низших порядков. Правую часть можно будет рассматривать как сторонние воздействия: распределенные источники объемной скорости или источники силы, излучение которых и создает данную гармонику. Нарастание гармоник будет иметь такой же резонансный характер, как и для второй гармоники. Практически расчет последовательных приближений делается громоздким уже при вычислении третьей гармоники. Поэтому для вычисления поля на таком расстоянии, когда волна уже сильно изменила свою форму, пользуются другими методами и находят изменяющуюся форму волны непосредственно, не вычисляя, как нарастают гармоники.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [139] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0295