Главная Общая акустика - создание упругих волн



Для справок приведем здесь запись волнового уравнения в часто применяющихся цилиндрической и сферической системах координат. В цилиндрической системе (х, г, ф) уравнение имеет вид

в сферических координатах г, 6, ф уравнение имеет вид

др 2 др . 1 др ctge др . аг» г дг аег ае

+ rsine W~d~

Нам удалось упростить точные уравнения гидродинамики, пользуясь тем, что в акустике смещения частиц малы по сравнению с расстояниями, на которых эти смещения заметно меняются. Но такой подход принципиально связан с выбором системы координат, относительно которой невозмущенная среда покоится. В системе координат, движущейся относительно среды, смещения частиц уже не будут малы и в новой системе нельзя будет произвести такие же упрощения. Поскольку принцип относительности Галилея справедлив для точных уравнений гидродинамики, он неприменим к упрощенным уравнениям: волновое уравнение, которое мы получили из упрощенных уравнений, не инвариантно по отношению к галилееву преобразованию.

В самом деле, пусть имеем волну р {t; х, у, г), удовлетворяющую в системе координат {х, у, z), связанной с невозмущенной средой, волновому уравнению (16.2). Возьмем систему координат {х, у, г), движущуюся относительно среды со скоростью О в направлении оси X. Формулы перехода от одной системы координат к другой имеют вид

Х = Х + Vt, Уу. 2 = 2.

в новой системе координат зависимость давления от координат и времени примет вид

р- (t; х\ у, Z) = р (t: X -f Vt, у, z).

Частные производные по координатам останутся без изменения, но частная производная по времени изменится: будем иметь

др др т,др dt ~ dt дх

и, следовательно.

аР av or/ ду . av



Подставляя в волновое уравнение, найдем, что в новой системе координат давление удовлетворяет уравнению

дх "Т" ду Й2« С» dt ~г с2 didx с» dxi

отличающемуся от волнового. Таким образом, пользуясь упрощенными уравнениями, мы привязываем себя к «абсолютной» системе координат.

§ 17 Одномерная задача, Плоская волна

Изучение волн начнем с простейшего случая одномерного движения среды, когда все характеристики волны зависят только от одной декартовой координаты, например координаты х. Поверхности, на которых фаза данной волны имеет одно и то же значение, называют фронтами волны. В этом случае фронты - плоскости X = const.

Поскольку давление меняется только в направлении, перпендикулярном к фронтам, скорость частиц в одномерном движении также направлена перпендикулярно к фронтам.

Для одномерного звукового поля можно найти общее решение р = р {t, х) волнового уравнения, принимающего в этом случае вид

Сделаем в этом уравнении замену переменных

a = t - -, р = /+-.

Частные производные давления по / и по .яс выразятся через производные по новым переменным следующим образом:

др др I др . др 1 / gp dp \

dt ~ да ~ д§ дх ~ с \ да дР )

Повторяя дифференцирование, найдем

ар fflp I о ар I др fflp 1 / др с др I ay v dt ~ aa" ~r aaap ~ ap dx c» \ aa" aaap ~ ap» г

Подставляя полученные выражения в волновое уравнение, получим

Отсюда следует, что частная производная др/да должна быть независимой от переменной Р; ее можно считать произвольной



функцией от а:

Интегрируя по а, найдем

p = JF{a)da + ёф) / (а) + 5(Р).

где / (а) = [ f (а) da и g (Р) - гакжг произвольные функции

своих аргументов. Возвращаясь к исходным переменным, найдем, что общее решение одномерного волнового уравнения - так называемое «даламберово решение» - имет вид

P = f{i-] + s{i + -)- 07.1)

Любая функция от t - х/с или от t -f х/с представит собой бегущую плоскую волну: первая - Еолну. бегущую направо, вторая - волну, бегущую налево. Общее решение одномерной задачи сводится к сумме двух плоских волн произвольной формы, бегущих навстречу друг другу. Каждая из этих волн в отдельности перемещается в направлении положительной (или отрицательной) оси х «ак твердое тело со скоростью с.

Таким образом, введение понятия скорости для плоской бегущей волны в среде делается оправданным. Однако оно неоднозначно. Вводя это понятие, мы неявно предполагаем, что волна движется как твердое тело в направлении оси х. Но картина нисколько не изменится, если считать, что возмущение движется как твердое тело в направленки, составляющем с осью х угол в, со скоростью c/cos е, как это доказано на рис. 17.1 для синусоидальной волны. Оба случай пранципиально неразличимы, так как неразличимы состояния возмущения среды в любых точках одного и того же фронта волны. Поэтому пока мы будем считать данное определение направления и величины скорости волны условным-Ниже, в гл. П1, мы увидим, что есть и принудительные основания принимать именно такое определение, помимо очевидного удобства.

Приведем сводку важнейших соотношений между характеристиками бегущей плоской волны. Пусть давление в волне задано в виде

р =p(t xlc),

где верхний знак соответствует волне, бегущей в положительном, а нижний - в отрицательном направлении оси х. Связь между давлением, скоростью и сжатием в бегущей волне имеет вид

v=+-Lp= ±cs. (17.2)

- PC



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0311