Главная Общая акустика - создание упругих волн



атмосферы. Если бы распространение происходило без дисперсии, то скоро бы образовывалась ударная волна (скачок давления) и волна быстро бы затухала. В действительности в результате волноводной дисперсии волна затухает сравнительно слабо.

§ 130. Стоячие волны конечной амплитуды

Рассмотрим квадратичную поправку к стоячей волне в узкой трубе, ограниченной крышками с теми или иными акустическими свойствами: например, крышками абсолютно жесткими, абсолютно мягкими или крышками, характеризующимися каким-либо импедансом и т. п. В качестве волны первого порядка будем каждых раз брать стоячую волну линейной теории, полагая, что квадратичная поправка в начальный момент равна нулю. Мы увидим, что характер поправки существенно зависит от свойств крышек.

Пусть длина трубы равна L. Совместим начало координат с одним из концов трубы. Начнем со случая абсолютно жестких крышек с обеих сторон трубы. В качестве линейного приближения возьмем стоячую волну номера /:

р = Ро cos ka sin (at, где k=:~ и со = .

В этом случае уравнение (124.9) для квадратичной поправки принимает вид

pff clpaa = PoGco (1 -f COS 2ka) cos 2co/.

Как нетрудно убедиться прямой подстановкой, квадратичная поправка, удовлетворяющая начальному условию = О при ; = О, - это волна

, 19

р .=i PqG (1 - cos 2со + со cos 2ka sn 2со).

Первые два члена в скобках дают давление, распределенное равномерно вдоль трубы и осциллирующее с двойной частотой вокруг среднего значения (/4) plG. Третий член - стоячая волна удвоенного номера (вторая гармоника исходной волны) с амплитудой, нарастающей пропорционально времени, протекшему от начального момента. Аналогично случаю бегущей волны квадратичная поправка и здесь представляет собой вековой член - носит резонансный характер, что объясняется наличием в правой части уравнения члена cos 2ka cos 2со, являющегося для заданных граничных условий собственным решением уравнения без правой части.

Иначе обстоит дело в трубе со свободными концами. В такой трубе за волну первого порядка можно принять

р - Ро sin ka sin at.



Уравнение (124.9) для квадратичной поправки примет вид Ри - соРаа = PoG(o (1 - cos 2ka) cos 2(0/.

В правой части этого уравнения нет слагаемого, совпадающего с решением уравнения без правой части и удовлетворяющего граничным условиям (обращение давления в нуль на концах трубы). Поэтому и решение не имеет резонансного характера: вековой член отсутствует. В самом деле, одним из частных решений уравнения является периодическая функция

p"i = -i-pIG (cos 2ka-\+kasm 2ka) co%2at.

Для получения решения, удовлетворяющего начальному условию, т. е. обращающегося в нуль в момент / = О, достаточно добавить к этому частному решению неоднородного уравнения решение однородного уравнения, также обращающееся в нуль на концах трубы, которое принимало бы в начальный момент значение

- pIG (cos 2fea - 1 + Аа Sin 2ka).

Дадим наглядное объяснение качественному различию результатов для разобранных двух случаев. Мы видели, что появление квадратичной поправки можно трактовать как результат, воздействия на среду сторонних объемных скоростей. В каждой точке трубы сообщаемая второй гармонике мощность равна произведению сторонней объемной скорости на давление в создаваемой волне. Поскольку сторонние объемные скорости имеют двойную частоту по сравнению с исходной волной, возбуждаться может только волна этой двойной частоты, т. е. волна двойного номера по сравнению с исходной. Но совпадения частот стороннего воздействия и волны недостаточно для того, чтобы происходила перекачка энергии в волну. Действительно, распределение объемной скорости вдоль трубы в обоих случаях имеет вид cos 2ka; постоянную составляющую можно не учитывать, так как для всех номеров нормальных волн, кроме первого (в трубе с открытыми концами) работа постоянной составляющей равна нулю. В трубе с жесткими крышками распределение давлений в волне двойной частоты также имеет вид cos 2ka, и поэтому работа в каждой точке .всей трубы положительна, в результате чего энергия перекачивается во вторую гармонику. Для трубы же с мягкими крышками давление во второй гармонике распределено по закону sin 2ka, ортогонально к распределению сторонних объемных скоростей: работа в разных точках трубы имеет разные знаки, а в целом по трубе равна нулю. В результате вековых членов нет.

В трубе с одной абсолютно жесткой и другой абсолютно мягкой крышкой вторая гармоника не возникнет, потому что в наборе собственных колебаний такой трубы нет четных гармоник: частоты различных номеров колебаний относятся как 1:3:5... Наконец,



если крышки в трубе не идеальные, а, например, характеризуются каким-либо импедансом, то набор собственных колебаний в такой трубе также вообще негармонический, так что для какого-либо номера собственных колебаний не найдется колебаний двойной частоты. Сторонние же объемные скорости всегда имеют двойную по отношению к исходной волне частоту. Во всех этих случаях (за исключением двух абсолютно жестких крышек) частота возможных нормальных колебаний не совпадает с частотой стороннего воздействия: вековых членов нет. В этом смысле жесткие крышки - исключительный случай.

§ 131. Уравнения квадратичной поправки для неодномерных волн

До сих пор мы рассматривали только одномерные волны, для которых было целесообразно применять лагранжевы уравнения. В неодномерном случае оказывйтся удобнее пользоваться эйлеровыми уравнениями. Точные уравнения гидродинамики в эйлеровой форме запишем в виде

pt»,+ p(»V)t» + Vp = 0,

p, + V(p«>) = 0, (131.1)

р = р (р).

Первое из этих уравнений - уравнение движения, второе - уравнение неразрывности, третье - уравнение состояния.

Напишем приближенные уравнения, представляя, как и раньше, все величины в виде рядов по степеням числа Маха и ограничиваясь членами первого порядка (линейное приближение) и второго порядка (квадратичная поправка). Линейные величины будем обозначать одним штрихом, а квадратичные - двумя штрихами. Как и выше, напишем уравнения отдельно для линейных и отдельно для квадратичных величин.

Итак, положим

р = р+р", v = vv\ р р„=р + р. (131.2) Первые два уравнения (131.1) дадут (ро + р -Ь р) {vt + vt) + (ро + р" + р) {v + v\ V) {р + v) +

+ Vp + Vp = 0, pi + P< + V {(po + p" + p") {v + v)] = 0.

Отбрасывая члены порядка выше второго и разделяя величины по порядку малости, найдем для величин первого порядка

Pot; + Vp; = 0. j3J3

9t + PoVi> = 0;



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [141] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0111