Главная Общая акустика - создание упругих волн



для величин второго порядка

Povi + Vp = - pvt - ро (vv) v,

pi + PoVc" = - pVv - vWp.

(131.4)

Таким образом, поле первого приближения удовлетворяет однородным линейным уравнениям, а поправка - тем же уравнениям с правой частью, т. е. со сторонними воздействиями. Преобразуем эти уравнения к виду, удобному для исследования.

Из первого из уравнений (131.3) видно, что поле скоростей первого порядка потенциально. В этом случае, как известно,

{vy)v = vekv%

Подставляя (124.5) в уравнения (131.4) и Пользуясь уравнениями (131.3), получим последовательно

PoVi + Vp = - -i- pvt - pov (4-0 =

I 1

2poO

Pt + Росоуг» = [sfUp 2), P уг» -1) VP =

2po4

Ho T = 4" Po есть плотность кинетической, aU=-

.................................... - p -

плотность внутренней энергии поля первого порядка. Значит, уравнения для квадратичной поправки можно записать в виде

PoVt-\-p = iU-T), Pt + PoCV = {[ 1 + Ро ()о] + • (131.5).

Отсюда видно, что квадратичную поправку можно считать волной, создаваемой сторонними источниками: дипольными источниками с силой диполя, распределенной с плотностью F = = у ((/ - Т), и монопольными источниками с объемной скоростью, распределенной с плотностью



Исключая из уравнений (131.5) скорость частиц, получим для квадратичной поправки волновое уравнение с правой частью:

Ар" = {[ 1 + Ро ( ) J г/+ Т} eg А (г/ Т) =

= [(f-l)u+T]-clA{U-T). (131.6)

Для идеального газа найдем, пользуясь (124.12):

pl.-oApiyU + nt-clAiU-T). (131.7)

Для бегущей волны р = р (t + xlc), как мы знаем, всегда и = Т = VaP (р), и уравнение (131.6) можно записать в виде

Ра-с1- = 0{р%, (131.8)

что в точности совпадает по форме с уравнением (124.9); но, во-первых, оно, в отличие от последнего, написано в эйлеровых координатах, а не в лагранжевых и, во-вторых, относится только к бегущим волнам, а не к произвольным одномерным волнам, как уравнение в лагранжевых координатах.

Если бегущая волна в первом порядке задана одинаковыми формулами в эйлеровых и лагранжевых координатах, то и квадратичные поправки выразятся одинаковыми формулами. Решения же § 130, конечно, не переносятся на эйлеровы координаты без дополнительных изменений.

Для задачи с первым приближением в виде бегущей плоской волны р = р (х - Cot) и для случая, когда начальное значение квадратичной поправки принимается равным нулю, решение имеет вид

p"=4-G/(p%

что совпадает с приближенной формулой (122.7), полученной из точного решения.

§ 132. О нелинейном взаимодействии плоских волн, бегущих под углом друг к другу

В § 126 мы видели, что при нелинейном взаимодействии двух плоских волн, бегущих в одном направлении, помимо волн двойной частоты для каждой из гармонических компонент исходных волн появляются еще вековые члены суммарных и разностных частот. Выясним теперь, как обстоит дело с квадратичной поправкой в случае, когда исходные плоские волны бегут под углом друг к другу. Оказывается, что в отсутствие дисперсии волны двойных частот появляются по-прежнему, но волны суммарной



и разностной частот уже не являются вековыми членами в решении.

В. самом деле, применим результаты предыдущего параграфа к сумме волн первого порядка:

р = pi cos (со/ - k-f) -Ь Ра cos (сОа/ - kr),

где волновые векторы составляющих волн и не параллельны. Из (131.5) следует, что сторонние объемные скорости и сторонние силы, зависящие от обеих волн первого порядка, распределены во времени и в пространстве по законам

sin [((Oi + ©а) - (*1 + *2)и sin [(©1 - ©а) - (*1 - г)l-

Таким образом, сторонние воздействия оказываются бегущими волнами, в которых частоты равны арифметической сумме или разности частот волн первого порядка, а волновые векторы равны векторной сумме или разности соответственных волновых векторов. Ясно, что в этом случае фазовые скорости сторонних воздействий не равны скорости свободных волн в среде: волна суммарной частоты бежит быстрее, а волна разностной частоты бежит медленнее звука. Картина возбуждения волн суммарной и разностной частоты получается аналогичной картине в среде с дисперсией скорости (см. § 129): энергия будет то перекачиваться из волны первого порядка в волны суммарной и разностной частоты, то возвращаться обратно в волны первого порядка. Нарастания и убывания волн суммарной и разностной частоты будут носить характер биений, причем чем ближе друг к другу направления волновых векторов исходных волн, тем период биений длиннее и тем точнее картина биений «имитирует» вековые члены. С точки зрения наличия вековых членов можно сказать, что в среде без дисперсии монохроматические волны, бегущие по разным направлениям, не взаимодействуют между собой.

Иначе обстоит дело при взаимодействии ограниченных («кол-лимированных») пучков волн, бегущих в разных направлениях, например двух монохроматических пучков ультразвука, исходящих из двух разнесенных излучателей и пересекающихся в некоторой ограниченной области взаимодействия. В этом случае сторонние источники можно найти тем же способом, что и при пересечении неограниченных плоских волн, но эти источники оказываются расположенными в некотором ограниченном объеме. Область взаимодействия явится некоторой пространственной антенной для волн суммарной и разностной частот. Создающиеся биения окажутся в этом случае оборванными на границах области взаимодействия, и волны суммарной и разностной амплитуды будут распространяться вне области взаимодействия как свободные волны.

Явление распространения волн суммарных и разностных частот вне области взаимодействия первичных полей первого порядка называют рассеянием звука на звуке. Величина этого рассеяния



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [142] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0136