Главная Общая акустика - создание упругих волн



зависит, помимо амплитуд исходных пучков и частот исходных волн, еще и от формы области взаимодействия и от угла межд первичными пучками. у

Вековые члены суммарной и разностной частоты могут появиться в результате взаимодействия неограниченных плоских волн только при наличии в среде дисперсии скорости звука. Так будет, если волновое число для суммарной или разностной частоты в диспергирующей среде равно соответственно модулю суммы или разности волновых векторов исходных волн. Считая волновой вектор функцией частоты: k = k (со), можем записать соответственные условия так:

(coi ± (Оа) = I* («i) ± Л (соа) ,

или так:

[(01 ± 0а)]2 = \k(ai)Y 4- [fe(0a)P ± 2(0i) («2) cos е,

где 6 угол между волновыми векторами исходных волн. Отсюда можно найти те углы 9, при которых появляются вековые члены суммарной и разностной частоты. Из последней формулы получаются следующие условия существования таких углов:

k (©1 -f ©а) < («i) +k ((Оа), А (I ©1-©а) > 1 ((Oi) - ((Оа)!-

Эти неравенства наверное будут выполнены для любых частот, .если групповая скорость больше фазовой для любой частоты, и наверное не будут выполнены при обратном соотношении между 1:этими скоростями.



ГЛАВА XIV

УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

§ 133. Твердое тело как акустическая среда

Твердые тела отличаются от жидкостей тем, что при деформациях в них возникают не только давления, но и сдвиговые упругие напряжения. Поэтому в твердых телах, помимо продольных волн того же типа, что и в жидкостях, могут распространяться и поперечные волны, в которых частицы колеблются перпендикулярно к направлению распространения.

В жидкостях степень сжатия полностью определяет возникающее давление - единственную величину, характеризующую напряженное состояние среды. В твердом теле картина напряженного состояния более сложна и требует более подробного учета картины деформаций. Вместо скаляров - сжатия и давления - появляются тензоры деформации и тензоры напряжений. Акустику твердой среды начнем с напоминания основных свойств этих тензоров. Среду будем считать изотропной.

§ 134. Тензор деформации

Если каждая точка твердого тела получила одно и то же смещение, то это значит, что тело переместилось поступательно: деформация тела отсутствует, и следовательно, никаких упругих напряжений в теле не возникло. Деформаций может не быть и при различных смещениях разных точек, например при вращении тела как целого. Напряжения возникают только в тех случаях, когда расстояния между точками тела изменяются.

Изменение смещений от точки к точке можно характеризовать производными компонент смещений Uj, и, «з по координатам какой-либо прямоугольной декартовой системы координат {Хх, Х2, х, т. е. величинами dujldxi. Однако такие производные еще не характеризуют деформацию, так как в них входят также смещения тела как целого. Поэтому удобно выделить такие величины, которые зависели бы только от изменений расстояний между точками тела. Это можно сделать следующим образом. Возьмем в теле две точки, координаты которых различаются на dXj. Квадрат расстояния dL между этими точками равен

dL = d,. (134.1)



После деформации расстояние между точками станет равно dL:

idLr = (dxj-Jrdui)\ (134.2)

где duj - приращение вектора смещений при переходе от первой точки ко второй. Для близких точек, т. е. для малых значений dXj, можно положить

dUi = dx,. (134.3)

«Малость» вектора dXj, конечно, относительна и означает малость его модуля по сравнению с расстояниями, на которых величина производных dujidxt изменяется заметным образом. Подставляя (134.3) в (134.2), найдем

= да+U+агг)/"

дХ1 > дх/ дх,- dxi,

Таким образом, приращение квадрата расстояния между двумя близкими точками равно

(.L-).-W = (g+*, + )a,,<,„. (134.4,

Можно показать, что величина

есть тензор; ее называют тензором деформации. Очевидно, тензор деформации симметричен. Если все компоненты тензора деформации обращаются в нуль (инвариантное свойство тензора), и только в этом случае, расстояния между частицами тела не меняются и оно движется как абсолютно жесткое тело. Таким образом, Uji действительно характеризует деформацию тела независимо от его движения как целого.

Если малы компоненты тензора деформации, то обычно малы и производные dujldxi; исключением являются случаи изгибания или кручения стержня или изгибание пластины, когда велик угол поворота средней линии или угол закручивания. Если не рассматривать эти особые случаи, то можно линеаризовать выражение для тензора деформации, пренебрегая квадратичными членами, и записать его в виде

%=i(S+S.)- • «34.6,

Если линеаризация возможна, то линеаризованные тензоры можно складывать (принцип суперпозиции): две деформации иц



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [143] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0127