Главная Общая акустика - создание упругих волн



и Vji, совершенные одна за другой, эквивалентны одной деформации Uji + Vji- Погрешность при таком расчете - того же порядка, что и при переходе от (134.5) к (134.6).

Каждая из компонент линеаризованного тензора деформаций имеет простой физический смысл. Диагональная компонента (компонента с двумя совпадающими индексами), например «ц, равна относительному растяжению элемента среды в направлении соответственной оси (в данном случае оси Xi). Сумма диагональных компонент тензора деформации равна дивергенции смещений точек среды, т. е. акустическому сжатию среды, взятому с обратным знаком: ыа = div « = -s.

Недиагональная компонента (компонента с различными индексами), например «23. равна изменению в результате деформации прямого угла между соответственными осями координат, проведенными в среде (деформация сдвига).

Компоненты тензора деформации изменяются при повороте осей. Формулы преобразования между компонентами Uji в старой системе {Xi, х, и компонентами иц в новой системе (х\, xl, Хз) имеют вид

И = ИарУа/урЬ «/г = UfSYa/Yp/,

где Y/i = cos (х/, xD, yji = cos (xj, Xt) - направляющие косинусы осей одной системы относительно другой. Очевидно, ууаУ/а = = 8,1 и Ун = ylj. Величина Uaa при повороте осей не меняется.

Как известно, симметричный тензор имеет систему главных осей. В этой системе координат от нуля отличны только диагональные компоненты тензора. Следовательно, любая деформация может быть представлена в виде суперпозиции трех растяжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Если деформация такова, что все три растяжения равны, так цго тензор деформаций можно представить в виде Uji = би, то это свойство оказывается инвариантным. В этом случае каждая система координат оказывается главной и деформации сдвига отсутствуют. В самом деле, по закону преобразования компонент тензора имеем в этом случае

«/г = «apYa/Yp/ = «баэУа/Ур/ = «YP;YP = «бу/»

Если в каждой точке твердого тела компоненты тензора деформации одинаковы, то деформацию называют однородной. При этом и напряженное состояние среды оказывается одинаковым во всех точках *), а следовательно, результирующая сил упругости, действующих на любой объем среды, равна нулю. Поэтому деформация в упругой волне не может быть однородной.

*) При случаях изгибания и кручения, упомянутых в § 134, одинаковое напряженное состояние может иметь место и при тензоре деформаций, меняющемся от точки к точке.




§ 135, Тензор напряжений

Для того чтобы определить напряженное состояние среды в данной точке, достаточно задать напряжения, действующие по трем взаимно перпендикулярным плоскостям, проведенным через данную точку. Пусть эти плоскости -- координатные плоскости декартовой системы координат {х, х, Xg). Векторы напряжения на плоскости с нормалью Xj обозначим через О/. Компоненты напряжения на плоскости с нормалью х,- обозначим через Oj,; первый Индекс обозначает номер оси, нормальной к координатной плоскости, на которой определяется напряжение; второй индекс-номер компоненты в данной системе координат. Например, as есть компонента в направлении оси х упругой силы, действующей на плоскость с нормалью отнесенная к единице площади. Для координатных плоскостей другой системы координат, проходящих через ту же точку, компоненты напряжений будут Рис. 135.1. К доказательству сим- другими. Найдем СВЯЗЬ между ком-метричиости тензора напряжений, понентами напряжений В одной и

в другой системе. Векторы напряжения для систем координат {х, х, х

и (х[, Х2, Хз) удовлетворяют уравнениям а} = ОаУа/, о,- = OaYa;-

Проектируя эти уравнения соответственно на оси xl, х, Xs и оси Xi, Xi, Хз, получим соотношения

Отсюда видно, что напряженное состояние в точке твердого тела выражается тензором: величины Oj, преобразуются как компоненты тензора второго ранга. Тензор Оу, называют тензором напряжений.

Рассмотрим (для простоты ограничимся плоским случаем, рис. 135.1) касательные напряжения, приложенные к мысленно выделенному элементу среды ABCD. Момент, создаваемый касательными напряжениями, равен {оз-Оз) АВ-ВС, и следовательно, имеет второй порядок малости по отношению к размерам элемента. Но момент инерции элемента имеет третий порядок малости относительно этих размеров. Следовательно, компоненты аз и должны быть равны, иначе элемент получил бы бесконечное угловое ускорение. Отсюда заключаем, что всегда Оу, = oy, т. е. тензор напряжений симметричен.

Тензор напряжений, подобно тензору деформаций, также может быть приведен к главным осям. В этом случае отличны от нуля только диагональные элементы и напряжения по всем трем координатным плоскостям направлены по нормали. Если к тому же все нормальные напряжения в этой системе равны друг другу, так что



тензор напряжений в этой системе принимает вид Оц = бо, то это свойство оказывается инвариантным и любая система координат явится главной: ни по какой плоскости нет касательных напряжений. Доказательство проводится так же, как и для тензора деформации (см. § 134).

Таким образом, в этом случае нормальное напряжение получается одним и тем же для любого направления площадки, а касательные напряжения отсутствуют. Это-такое же напряженное состояние.как в сжатой жидкости. Оно возникнет, например, при погружении твердого тела в жидкость, находящуюся под давлением.

Величина а в этом случае равна давлению, взятому с обратным знаком: а = -р (в отличие от напряжений, давление считается положительным, если сила давления направлена по внутренней нормали к площадке).

§ 136. Закон Гука

Внутренние напряжения в твердых телах определяются деформациями тела, подобно тому как давление в жидкости определяется ее сжатием. Связь между напряжениями и деформациями может быть разного типа. Может оказаться, что напряжение в данный момент зависит от того, какие деформации испытывало тело за всю его историю (аналогично жидкостям с релаксацией), а может оказаться, что напряженное состояние в данный момент определяется только деформацией в этот самый момент; если при этом внутренняя вязкость отсутствует, то работа в теле при циклическом деформировании тела (с возвращением к исходному состоянию) равна нулю. Более того: будем заниматься только телами с линейной упругостью, т. е. телами, для которых связь между компонентами напряжения и деформации линейна. Наконец, ограничимся только изотропными твердыми телами. Требование линейности исключает большие значения тензора деформации, а также исключает среды типа порошков, для которых сжатие вызывает напряжения, но растяжение приводит только к нарушению контакта между частицами.

Напишем самый общий вид линейного соотношения между компонентами тензоров Напряжения и деформации. Это соотношение должно иметь тензорный характер: иначе соотношение, справедливое в одной системе координат, оказывалось бы неверным в другой, в то время как по самому смыслу такого соотношения оно должно быть инвариантно по отношению к выбору системы координат. Можно написать два различных тензора второго ранга, линейно зависящих от компонент тензора деформации: первый - это сам тензор деформации; второй - это тензор иЬц. Величина



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0144