Главная Общая акустика - создание упругих волн



- инвариант; его физический смысл - относительное изменение объема элемента (дивергенция смещения). Наиболее общее линейное соотношение между тензорами деформации и напряжения можно записать в следующем виде:

а,1 = X8ji Uaa + 2рм , (136.1)

где X и 1 - так называемые коэффициенты Ламе - величины, характеризующие упругие свойства данной среды. Это соотношение называют обобщенным законом Гука.

Уравнения (136.1) можно решить относительно тензора деформации. В самом деле, свертывая это уравнение по индексам / и /, найдем

(136.2)

Подставляя в (136.1) и решая относительно Н/,, получим

Я , 1

"2и(ЗЯ + 2(.) 2Г

Например,

= (i(3\+V) ~ 2(х(ЗЯ + 2(х) + *ьз). "»8 = «Ум-

§ 137. Граничные условия для твердых тел

Рассмотрим важнейшие виды граничных условий для границ твердого тела с другими телами или с вакуумом; разнообразие здесь большее, чем для жидкостей. Будем обозначать ось, совпадающую с нормалью к границе, индексом п, а две взаимно перпендикулярные оси в плоскости границы- индексом а (а = 1, 2).

1. Свободная граница. На свободной границе равны нулю компоненты тензора упругого напряжения, соответствующие площадке, лежащей на границе: ог„„ = = 0.

2. Граница с абсолютно жестким телом при наличии «склейки». Равны нулю все компоненты смещения точек границы: м„ = «а = 0.

3. Граница с абсолютно жестким телом при наличии «смазки». Равны нулю нормальное смещение границы и касательные напряжения на границе: ы„ = 0; = 0.

4. «Приклеенная» жесткая в продольном направлении идеально гибкая пластинка. Касательные смещения и нормальные напряжения равны нулю: «а = 0; су„„ = 0.

5. Граница с жидкостью. Нормальное давление на границе равно давлению в жидкости, взятому с обратным знаком; касательные напряжения равны нулю; нормальные скорости твердого тела и жидкости на границе равны между собой: а„„ = -р; = 0;

Un = ип. 442



6. Граница с другим твердым телом при наличии «склейки». Попарно равны все компоненты смещений обоих тел на границе и юдноименные компоненты тензора напряжений: ы/ = и; а„„ =

7. Граница с другим твердым телом при наличии «смазки». Равны попарно нормальные смещения и нормальные напряжения юбоих тел на границе. Касательные напряжения в обоих телах равны нулю: м„ = ип, Опп = сг;„; а, = = 0.

§ 138. Однородные деформации. Различные модули упругости

При однородной деформации напряженное состояние среды одинаково во всех точках тела: тензор напряжений не зависит от координат. Однородная деформация - это статическая деформация, так как на каждую частицу со стороны соседних действуют юдинаковые противоположно направленные силы, и поэтому равнодействующая напряжений, действующих на частицу, равна щулю.

Если деформация неоднородна, но меняется от точки к точке непрерывно, то для вычисления напряжений в малой окрестности данной точки деформацию можно считать однородной и учитывать неоднородность только при вычислении силы, действующей на элементарный объем. Важнейшие типы однородных деформаций - всестороннее сжатие, чистый сдвиг, растяжение вдоль одной оси.

Всесторонним растяжением (или всесторонним сжатием - в зависимости от знака деформации) называют деформацию, при которой удлинение одинаково по всем трем осям, а сдвиговые де-<)ормации равны нулю:

Подставляя в уравнение (136.1), найдем

<ii = <722 = <?33 = ( + 4!J)«aa; <J23 = cai = (12 = 0. (138.1) Отличны от нуля только нормальные напряжения. Величину

называют модулем всестороннего сжатия или объемным модулем упругости. Формулу (138.1) можно записать также в виде

Чз(Уст = Ки.

Вэтом виде формула справедлива и для любой неоднородной деформации, что легко видеть, свертывая (136.1) по индексам / и /. Таким образом, среднее значение трех нормальных напряжений зависит только от дивергенции смещения, или, что то же, от сжатия среды.



Деформацией чистого сдвига в плоскости хх, называют деформацию, при которой отличны от нуля только компоненты Мгз = "32

тензора деформации. Из (136.1) найдем, что в этом случае отличными от нуля будут только напряжения

сги = 022 = азз = аз1 = а1, = 0. (138.2)

Таким образом, второй коэффициент Ламе имеет физический смысл модуля сдвига. При обращении ц в нуль твердое тело обращается в жидкость с сжимаемостью Р = 1/?.

Деформацией растяжения вдоль оси Хх называют такую деформацию, при которой отлична от нуля только компонента Иц тензора деформаций (такого типа деформация, но не однородная, а меняющаяся вдоль оси Хх, возникает в плоской волне, бегущей вдоль оси Хх)- Из (136.1) найдем в этом случае

<Jii = ( + 2р) Uxx, О22 = О33 = Ыхх,

Огз = ог31 = ах2 = 0. (138.3)

Нормальное напряжение достигает наибольшего значения вдоль направления растяжения, а наименьшего- в перпендикулярном направлении. Для жидкости, испытывающей ту же деформацию, оба напряжения были бы равны друг другу.

Величину

X -f 2р = /С -f */з11

называют упругим модулем плоской волны. Как и всякая деформация, не сводящаяся к всестороннему сжатию, растяжение вдоль одной оси связано со сдвигом. Однако при данном выборе координатных осей (главные оси) сдвиговые компоненты тензоров деформации и напряжения равны нулю.

Часто приходится иметь дело с ограниченными твердыми телами, например цилиндрическими стержнями и пластинами. Растяжение таких ограниченных участков сред происходит иначе, чем растяжение сплошной среды. Рассмотрим однородное растяжение вдоль оси стержня со свободной боковой поверхностью. Направим ось Хх по оси стержня. Единственной отличной от нуля компонентой напряжения будет Оц, так как на боковых стенках стержня напряжения должны обращаться в нуль, а в силу однородности деформации компоненты тензора напряжений постоянны по всему телу.

В этом случае из уравнения (136.1) найдем

= (? + 2р) Uxx + («22 + Нзз), 022 = «11 + ( + 2р) «22 + «33 =Д

озз = Г(ыц + ы22) + (> + 2fx) ы33 = о,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0157