Главная Общая акустика - создание упругих волн



откуда получим

и, подставляя в первое уравнение. Величину

-u=-t¥*?a."u. (138.5)

называют коэффициентом Пуассона. Согласно (138.4) он дает отношение поперечного изменения размеров («пуассоново сжатие») к продольному при сжатии или растяжении стержня. Величину

Е = ±±М. (138.7>

называют модулем Юнга для стержня.

Пользуясь величинами £ и v, получим из (136.3) следующие выражения деформации растяжения по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям через нормальные напряжения по. этим направлениям:

«11 = -\.Oii - v (Огг + азз)],

"22 = 4"122 -v(a33-faii>J, (138.8>

«33 = 4" tSS - V (СТц + СТ22)1-

Так как в закон Гука входят только две независимые характеристики вещества, то между тремя различными модулями упругости /С, р- и £ должна быть линейная зависимость, а коэффициент Пуассона можно выразить через любые два различных модуля упругости. Соответственные формулы можно записать так:

-ж+Ц --х-з]: -шг (138.9>

2(ЗК + 1)--2ir-~-Qir~ (138.10>

Из повседневного опыта ясно, что объемный модуль упругости и модуль сдвига - не отрицательные числа: тела «сопротивляются»-деформации, а не «способствуют» ей. Поэтому из (138.10) следует, что V для любого тела должно находиться в пределах от -1 (при



/с = 0) до 1/2 (при р = 0). Отрицательные значения коэффициента Пуассона для реальных сред не встречаются, так что фактически всегда выполняются неравенства

0v<4-. (138.11)

Отсюда, в частности, следует, что и коэффициент Ламе К также всегда положителен; предельный случай v -♦ 1/2 соответствует j1 -♦ О, т. е. переходу от твердого тела к жидкости. Вещества с модулем сдвига, малым по сравнению с модулем всестороннего сжатия, называют водоподобными. Примеры водоподобных тел - резины, мягкие пластмассы, мягкие живые ткани. Для водоподобных тел справедливы приближенные соотношения

b3ii; v«.-(l--(138.12)

Коэффициент Пуассона, близкий к нулю, имеет пробка: при растяжении и сжатии куска пробки поперечные размеры куска практически не меняются. Это позволяет использовать для закупоривания бутылок цилиндрические пробки. Пробки из резины, для которой коэффициент Пуассона близок к 1/2, приходится делать коническими: цилиндрическая резиновая пробка может оказаться самотормозящимся устройством, и ее будет невозможно продвинуть в горлышко бутылки.

Можно выразить все модули упругости через какой-нибудь один из модулей и через коэффициент Пуассона. Так, из полученных выше формул найдем

V 2 l+V 1 с 1 •/1104 l+V

, о л 1 - 2v 3 „ 1 - 2v с 1 = + 2()0 =-2-Т+Т =2TUR-•

Е = {К+ 2р)~11+)= 3/С(1 -2v) = 2ц(1 4- v),

(138.13)

iio oir-" 2(1-v) г. 1-V

?o+2p = 3/Cp-lr2=£(t 2v)(l+v)-

Отсюда видно, в частности, что все модули упругости всегда положительны и имеют место неравенства:

£ < 3/С; 2р < £ < Зр; /С < Я, -Ь 2ц < 3/С.

Случай растяжения бесконечной пластины - промежуточный между растяжением стержня и продольным растяжением в безграничной среде. Пусть пластина лежит в плоскости XiX и растягивается вдоль оси Xi- Тогда растяжение по оси Х2 отсутствует: «22 = 0; кроме того, нормальное напряжение вдоль оси Xs равно нулю: Озз = 0. Пользуясь (136.1), находим

Оц = {X + 2р) Uii + Мзз1

Озз = Хиц -Ь (? -Ь 2р,) == 0.



Из BTopere из этих уравнений находим уравнение, аналогичное (138.4):

"« = -ТТ¥"" (•>

т. е. коэффициент поперечного сжатия пластины по толщине (его можно назвать коэффициентом Пуассона для пластины vj,) равен

Подставляя найденное значение «33 в формулу для Оц, найдем формулу, аналогичную (138.5):

Величину

называют модулем Юнга для пластины. Очевидно, 2р < < 4р.

Модуль Юнга для пластины всегда превышает модуль Юнга для стержня. Это вызвано тем, что в пластине частицы не могут смещаться по оси х, как в стержне. Легко видеть, что модуль плоской волны больше обоих модулей Юнга. Полезно заметить формулы

ил=т. (138.18)

пл = т:! = Ц = (J + 2lt)= 3/С1. (138.19)

Величина vj, для всех веществ лежит в пределах О < v < 1, принимая значение, близкое к единице, для водоподобных сред. Для таких сред приближенно

£4р, v„«I -2--. (138.20)

§ 139. Продольные и поперечные плоские волны в твердом теле

Один из типов плоских волн в твердом теле подобен волне в жидкости: это - продольная волна. Пусть смещения частиц и направлены по оси X и зависят только от координаты л; (для этого простого случая можно обойтись без тензорных обозначений; вообще тензорные обозначения обычно удобны для расчетов самых общих случаев, а в конкретных частных случаях удобнее выбирать определенную систему координат, применительно к данной



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0152