Главная Общая акустика - создание упругих волн



задаче). Напомним составление уравнений движения для такого случая. Для этого рассмотрим, какие силы действуют на поверхность выделенного элемента среды, который возьмем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат. Так как все смещения зависят только от координаты X, то напряжения по боковым стенкам элемента взаимно уничтожатся в силу симметрии. Нормальные же напряжения по передней и задней стенкам будут равны соответственно

-dydziX-\-2i,) и dydz{K + 2i,)( + ,dx).

Таким образом, равнодействующая сил напряжения на элемент со стороны окружающей среды будет равна

dxdydz{X +21).

Обозначая плотность среды через р, получим уравнение движения в виде

p« = (X+2fx)g. (139.i)

ЭтО-линеаризованное уравнение (ср. § 13): вместо полной производной по времени взята частная производная; плотност> принята равной невозмущенному значению.

Это уравнение имеет решения в виде плоских волн продольного смещения произвольной формы, бегущих в положительном и отрицательном направлении оси х (волны сжатия и растяжения):

и = u(t +ixlc,), (139.2)

где скорость продольных волн с, = "[/(Я, -- 2р)/р. В отличие от жидкости, эта скорость определяется не только модулем всестороннего сжатия среды, но и модулем сдвига:

Таким же способом можно показать, что скорости продольных волн в стержне (cJ или в пластине (cJ равны соответственно

Се. = УШ с„„ = VEJP = cj]rr=.l (139.3)

Из этих трех скоростейпродольных волн наибольшее значение имеет скорость волн в безграничной среде cf. это наибольшая скорость возмущения в твердом теле. Кинематическое сходство плоской продольной волны в твердой среде с такой же волной в жидкости не распространяется на напряжения: в жидкости давление независит от ориентировки площадки, на которой оно измеряется, и в плоской волне равно р = -К (ди/дх), где К - модуль упругости



продольной волны, совпадающий для жидкости с модулем всестороннего сжатия. В твердом же теле распределение величины, аналогичной давлению - нормального напряжения, взятого с обратным знаком, - зависит от расположения площадки: на площадке с нормалью, направленной вдоль распространения волны, нормальное напряжение равно ах = {к+ 2р) а по перпендикулярной

к этому направлению площадке (например, площадке с нормалью у

л ди

или Z) напряжение равно а,, = а„ = л.

В твердом теле, как уже говорилось, помимо продольных волн, может распространяться волна поперечного типа, в которой смещения частиц перпендикулярны к направлению распространения. Это - тлна чистого сдвига. Пусть, например, смещения и частиц направлены по оси у и зависят только от координаты х. Тогда, как легко видеть, движение выделенного параллелепипеда dx dy dz определяет сдвиговые напряжения Оху = Оух, действующие на гранях dy dz. Напряжения на передней и задней гранях будут равны соответственно

ди f ди , ди , л

Уравнение движения снова получится в виде волнового уравнения

P« = pg. (139.4)

Решениями уравнения являются плоские сдвиговые волны поперечного смещения в направлении оси у

и= u{t xlct), (139.5)

где скорость поперечных волн равна с, = Кр/р.

Гармонические волны рассмотренных типов можно записать в следующем виде:

продольная волна в неограниченной среде:

Л, где A, = l/pa)V( + 2p);

продольная волна в стержне:

е где А„ = 1Лр(о7£;

продольная волна в пластине:

е - . где К„ = У paVE,,;

поперечная (сдвиговая) волна в неограниченной среде:

е*"", где ki = Ypa%.

Напомним, что в продольных волнах в неограниченной среде в стержне и в пластине смещения параллельны направлению рас-

15 М. А. Исакович 449



пространения (если отвлечься от малых поперечных «пуассоновых» смещений); в поперечных волнах смещение перпендикулярно к направлению распространения.

В твердой среде, как и в жидкости, возможно распространение неоднородных гармонических плоских волн как продольного, так и поперечного типов. Скорости этих волн меньше соответственно величин Cj и С/, а амплитуда меняется экспоненциально вдоль фронта. Продольные и поперечные неоднородные волны со смещениями, лежащими в плоскости xz, и бегущие вдоль оси л:, можно записать в виде

где 2 - «2 = И\ для продольных волн и 1 - - для поперечных волн.

Пользуясь выражениями для упругих модулей, полученными в § 138, выпишем соотношения между скоростями различных типов однородных волн в твердом теле и коэффициентом Пуассона:

V =

Например, при v = Vg имеем с? == 4с? или ft? = 4ft?. Из неравенств § 138 следует, что всегда

2с?<с?; 2с?<4<3с?; 2<<cL<4c?. . (139.6)

Обобщая понятие волнового сопротивления среды, для твердой среды можно ввести понятия продольного волнового сопротивления pCf и поперечного волнового сопротивления рс<. Легко видеть, что для волны, бегущей вдоль оси х,

где через и обозначено смещение частиц в продольной и в поперечной плоской волне соответственно. Аналогично можно ввести и понятия проводимости (или импеденса) в нормальном и в касательном направлении (во втором случае подразумевается, что среда «при-, клеена» к препятствию). Эти проводимости в нормальном и касательном направлениях определяются формулами

dunldt . dug/dt

-Опп -Опа

Сдвиговая волна вида (139.5) была выбрана линейно поляризованной в направлении оси у. Но вдоль оси х могут бежать сдвиговые волны, поляризованные и по другим направлениям. Суперпозиция таких волн особенно просто записывается для гар-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0107