Главная Общая акустика - создание упругих волн



монических волн. В этом случае самый общий вид сдвиговой волны данной частоты, бегущей вдоль оси х, можно представить в виде суперпозиции двух волн, линейно поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях:

где J и k- орты осей у я z. Варьируя соотношение между комплексными амплитудами аи b волн, поляризованных по осям у и z, получим волны, в которых частицы описывают разные эллипсы (лежащие все в плоскостях, перпендикулярных к оси х). Например, при обоих вещественных коэффициентах а и b получается линейная поляризация: частицы движутся по прямой, наклоненной к оси у под углом arctg (b/a). При комплексном отношении а/Ь получается эллиптическая поляризация волны: траектории частиц - эллипсы с разным наклоном осей. При а/Ь = ± i получается круговая поляризация: траектории частиц - окружности радиуса \а\. Скорость всех этих типов поперечных волн одинакова и также равна Cf.

Приведем формулы для плотности потока мощности в плоских волнах в твердом теле. В продольной волне и = и (t-- х/с,), бегу- щей вдоль оси х, единственная компонента напряжения, производящая работу, есть ох- Значит, плотность потока мощности есть W=-Ojix (du/dt) или, поскольку 0;.=-рс, (du/dt): W=pc,{du/dt). Для гармонической волны и = «„е**""* мгновенный поток мощности равен W = рсФи, что даст для среднего потока

W=-pa(oul.

Аналогично для поперечной волны и = и (t - х/с), бегущей вдоль оси X и поляризованной, например, вдоль оси у, единственная компонента напряжения, производящая работу, есть ау, что дает для плотности потока мощности выражение W = = -(du/dt). Так как в сдвиговой волне оу = -pCf{du/dt), то W = pct (duldt) и для гармонической волны с амплитудой смещения «о средний поток мощности равен

т57 1 2 2

= -2 9С1(л «о-

§ 140. Общие уравнения распространения волн в твердом теле

Напишем линеаризованные уравнения движения для твердой среды. Рассмотрим параллелепипед со сторонами dx, dx и dxs.

Если бы деформация была однородной, то одноименные напряжения на противоположных гранях, например нормальные напряжения на гранях с нормалями, совпадающими с положительным и отрицательным направлением оси х, были бы равны друг другу по величине и противоположны по знаку: это были бы напряже-

15* 451



ния -стц и 011. Аналогичные соотношения имели бы место и для других противоположных граней и для других компонент напряжения. Так, по противоположным граням с нормалями, параллельными оси х, действовали бы напряжения -Огз и О23, -ог и «22 и т. д.

Но при неоднородном напряженном состоянии, например в упругой волне, напряжения по противоположным граням не равны по модулю: если на одной грани нормальное напряжение равно -Оц, то на противоположной грани напряжение равно

+ (дОц/дХ]) dXi, аналогично на других гранях будут действовать напряжения -023 и 023 + (доз/дх) dx, напряжения -022 и (Г22 + (doi/dxi) dX2 и т. д. Умножая действующие напряжения на площади соответственных граней {dx2 dx3, dxg dx, dx dXi) и складывая, найдем, что результирующая сила, действующая на данный параллелепипед, равна сумме {dOjJdxi) dx dx dx3.

Под действием этой силы данный элемент будет двигаться с ускорением Uj. Масса элемента составляет р dxy dx dxs, где р - плотность данной твердой среды. Значит, уравнение движения элемента среды можно записать в следующем виде:

P", = Sf (40..)

или, выражая компоненты тензора напряжений черет компоненты тензора деформации,

, duaa , „ "У

Замечая, что

дх1 - di + ex]

.2 »

получим еще следующую форму записи уравнения движения:

= + + (140.2)

Отсюда удобно перейти к векторной записи уравнения

pa = (X--(A)graddiva--(AAa. (140.3) Воспользуемся еще векторным тождеством

Аи = grad div и - rot rot и. Тогда (140.3) примет вид

ри= (Х4- 2(j,)graddiva--urotrota, (140.4)

Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы потенциального вектора, вихрь которого равен нулю, и соленои-

i52



дальнего вектора, дивергенция которого равна нулю. Если представить в таком виде вектор смещения и, то можно получить отдельно уравнения для потенциальной и соленоидальной части смещения. В самом деле, положим а = и, -Ь щ, считая rot а, = О и div Uf = О- Подставляя в (140.4), найдем

РЩ-У ра, = (Я,-f 2(a) grad div а, -(а rot rot а,. (140.5)

В силу единственности разложения данного вектора на потенциальную и соленоидальную части отсюда находим

ро) = (Я,-f 2р,) grad div а,,

ри] = - (а rot rot Uf

или, вспоминая выражения для скоростей продольных и поперечных волн, ~

Ю/ -С/grad diva = О, а,-j-с?rot rot а = 0. (140.6)

Применяя векторное тождество rot rot = grad div - Д к векторам tti и Ut, найдем

grad div а, = Аи/, и rotrot», = -Аа,.

Следовательно, уравнения (140.6) можно переписать в виде волновых уравнений для векторов а, и а,:

Ui - clAui = 0, Ut - ctAu =0. (140.7)

В частном случае плоских волн, распространяющ ихся вдоль оси X, т. е. волн, смещения в которых зависят только от координаты X, приходим снова к уравнениям (139.1) и (139.4), которые снова дают решения (139.2) и (139.5).

Для гармонических волн уравнения (140.7) принимают вид

Aui-{-k]ui = Q, Au, + k]ui = Q. (140.8)

Это- уравнения Гельмгольца для векторов щ и а/.

§ 141. Скалярный и векторный потенциалы

Зачастую при решении конкретных задач удобно иметь дело с уравнениями не относительно векторов (в нашем случае векторов смещения), а скаляров. Поэтому сейчас введем некоторые скаляры, дифференцированием которых можно было бы получить и смещения, и напряжения в твердом теле, и напишем для них уравнения движения вместо уравнений (140.7), (140.8) для смещений. Именно, представим (что всегда возможно) потенциальную часть смещения в виде градиента некоторого скаляра ф, а соленоидальную часть - в виде вихря некоторого вектора if:

и = grad ф -f rot if.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0122