Главная Общая акустика - создание упругих волн



Очевидно,

Ui = gra(i<p и Ut = rotijp. (141.1)

Скаляр ф называют скалярным потенциалом данного движения среды, а вектор гз-векторным потенциалом. Казалось бы, такой заменой цель не достигнута полностью, так как два вектора Ui и щ заменены одним скаляром и одним вектором. Однако в наиболее часто встречающихся случаях приходится иметь дело с движениями, имеющими ту или иную симметрию, например, с плоскими движениями; в этих случаях, как увидим, не равной нулю остается только одна компонента векторного потенциала гз и уравнение для нее также является скалярным. В тех же случаях, когда нас интересуют только потенциальные движения среды, вся задача сводится к нахождению только одного скалярного потенциала ф. Сжатие среды всегда выражается только через скалярный потенциал: s = -div и = -Аф. Поэтому среднее нормальное напряжение также выразится только через фГ

-5-аа = -+--1а) Аф.

В тензорной записи из (141.1) имеем

где Баз,- - дискриминантный тензор, компоненты которого равны нулю, если в числе индексов имеются два одинаковых, и равны +1 или -1, если индексы соответственно образуют или не образуют циклическую перестановку порядка 1, 2, 3. Подставляя (141.2) в (134.6), получим

Согласно (136.1) тензор напряжений выразится формулой

Получим уравнения для скалярного и для векторного потенциалов в отдельности. Подставляя вместо tti в первое из уравнений (140.6) величину grad ф, найдем

grad (ф -с?Дф) = 0.

Интегрируя один раз по координатам, найдем, что скалярный потенциал удовлетворяет волновому уравнению

ф-Дф = 0. (141.4)

При получении этого уравнения мы теряем аддитивное решение в виде линейной функции от времени, умноженной на линейную



функцию от координат. Однако это решение не дает никакого вклада в волновое движение среды, и его можно опускать. Для гармонического движения получим из (141.4) уравнение Гельмгольца для скалярного потенциала:

Аф -f k](p = 0.

Аналогично, подставляя вместо щ во второе уравнение (140.8) функцию rot ф, найдем

rot (t -с?Ая;)= 0.

Интегрируя один раз по координатам, получим волновое уравнение и длявекторного потенциала

-с?Аф = 0. (141.5)

При получении этого уравнения мы теряем аддитивное решение в виде потенциального вектора. Но и это решение не дает никакого вклада в движение среды и его тоже можно опустить. Для гармонического движения получим уравнение Гельмгольца и для векторного потенциала:

Ai3 + = 0.

Особенно просты волновые уравнения для плоского движения. Если движение происходит параллельно плоскости xz и не зависит от координаты у, то отлична от нуля только -компонента векторногопотенциала: в противном случае не равнялась бы нулю /-компонента смещения. Для этой единственной не равной нулю компоненты, которую будем обозначать волновое уравнение делается скалярным:

с?Аг1? = 0. (141.6)

Таким образом, уравнения такого плоского движения - это два скалярных волновых уравнения: уравнение (141.4) для скалярного потенциала и уравнение (141.6) для единственной не обращающейся в нуль /-компоненты векторного потенциала.

Компоненты смещения для этого плоского движения равны дф йг. „Ф,лр ......

Формулы, выражающие напряжения через потенциалы, получим из формул (136.1) и (141.7). Так, для а„ имеем

Прибавляя кправой части2р, (difldx) и вычитая эту же величину, найдем

<,„ = ,Х+2,)4ф-2,(-).



Но, согласноволновому уравнению (141.4),

(Я + 2ц)Дф = А1Ф=Ф.

так что

с2 \ дх* дхдг)

Аналогично найдем, пользуясь (141.6): Так же получим и выражение для <jjcx

с2 Ф {дг* дхдг)

Из симметрии задачи следует, кроме того:

Наконец, как легко видеть;

(141.8)

Для гармонических волн формулы (141.8)-(141.10) и дадут

(141.9)

(141.10)

(141.11)

(141.12) (141.12)

а„ = -,[*Ь-2(Й-3)] а„=-,[*;ф + 2( + Д)],

(141.13)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 [149] 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0146