Главная Общая акустика - создание упругих волн



Отсюда, пользуясь (14.2), найдем еще соотношения

.= ±1/Р=*/». (.7.3)

Участки среды, в которых сжатие (а значит, и давление) положительны, движутся в сторону бега волны, а участки отрицательных давлений движутся навстречу бегу волны. Частицы, в которых звуковое давление равно нулю, имеют и скорость, равную


Рис. 17.1. Двухмерный профиль давлений в плоской синусоидальной волне в плоскости, проходящей через направление распространения волны. Перемещение волны в направлении а со скоростью с неотличимо от перемещения в направлении б со скоростью c/cos G.

нулю. Если всегда считать направление бега волны положительным, то в положительном направлении будут двигаться сжатые участки, а в отрицательном - разреженные участки среды, и в формулах (17.2) и (17.3) всегда можно брать знак плюс. Отношение скорости частиц к давлению в бегущей волне при таком выборе положительного направления в любой момент времени равно величине

- = -i-=l/-. (17.4)

Это отношение называют волновой проводимостью среды- Она не зависит от формы волны, а только от свойств среды.

Величину рс, обратную волновой проводимости, называют волновым сопротивлением среды.

Все приведенные здесь формулы справедливы только в отсутствие дисперсии.

Полученная нами запись плоской бегущей волны связана с выбором оси X в направлении распространения волны. Напишем



уравнение плоской волны в векторной форме. Это позволит в дальнейшем получить выражение для плоской волны и в любой системе координат.

Для этого введем вектор S, перпендикулярный к фронтам волны и равный по модулю обратному значению скорости: S = 1/с. Вектор 5 будем называть вектором медленности волны. Обозначим радиус-вектор произвольной точки среды, проведенный из начала координат, через г. Очевидно, х/с = Sr. Следовательно, уравнение бегущей плоской волны можно записать в виде

р (t-x/c) = р (t-Sr).

(17.5)

Последняя запись не связана с выбором системы координат. Если для плоской бегущей волны известна зависимость давления от времени в какой-либо точке и вектор медленности 5 известен, то уравнение волны получится путем замены в этой зависимости времени i на бином t-Sr (где радиус-вектор г проведен из данной точки). Соотношение (17.2) между скоростью частиц и давлением в плоской волне можно записать, пользуясь вектором


Рис. 17.2. Вектор медленности плоской волны и его проекции на координатные оси и координатные плоскости. Жирные стрелки - вектор медленности исходной волны и векторы медленности следов волны на оси X и на плоскости д; = 0.

медленности, в векторной форме:

p{t-Sr).

(17.6)

- Пользуясь (17.5), можно записать выражение для волны в координатной форме при любом расположении координатных осей относительно направления распространения волны:

p(t-.Sr) = p{t~ xS, - yS, - zS,) =

= p{t - xScosa - yS cos p - zS cos v). (17.7)

Здесь Sjc = S cos a, Sy = S cos p, - S cos v - проекции вектора медленности на координатные оси; а, , у - углы вектора медленности с координатными осями (рис. 17.2).

«След» плоской волны на какой-либо оси, например на оси х, Р(уг=о) - Р {t-Sxx), МОЖНО рассматривать как одномерную волну, бегущую вдоль оси х. Аналогично «след» волны на какой-нибудь плоскости, например плоскости л; = О, Р(х-=о) = Р (t - - 8уУ - 52), можно рассматривать как двухмерную волну, бегущую на плоскости д; = 0. Временная зависимость всех величин, характеризующих волну, во всех следах та же, что и в исходной



волне, но медленности следов другие: они равны проекциям вектора медленности исходной волны на соответственные оси или плоскости. Так, медленность следа на оси х есть - S cos а,

а медленность следа на плоскости х = О есть VS-f-S - S sin а.

Вектор медленности исходной плоской волны и медленности ее следов на осях и плоскостях координат находятся в тех же соотношениях друг "С другом, как вектор скорости движущейся материальной точки и скорости ее проекций на оси и на плоскости. При волновом подходе к акустическим процессам вектор медленности - понятие, имеющее непосредственный физический смысл, точно так же, как в механике материальных точек имеет смысл вектор скорости. Понятие же вектора скорости для волн имеет не больший смысл, чем понятие вектора медленности для движущейся точки. Лишь для одномерных движений, когда скорость или медленность можно считать скалярами и принципиально нет вопроса о проекциях или следах рассматриваемого объекта, можно было бы на равных правах применять понятие скорости и медленности как для волн, так и для материальных точек. Применимо всегда для тех и для других объектов и понятие медленности или скорости по модулю. В этом смысле обычно и говорят о скорости волн, а не о медленности; но так говорят только в силу привычки: мы чаще обсуждаем движение тел, чем волн.

То обстоятельство, что для волн понятие вектора скорости не имеет смысла и на его место становится понятие вектора медленности волны, связано с принципиальным различием между механикой волн и механикой материальных точек, о котором мы уже говорили в § 1.

§ 18. Гармонические плоские волны. Стоячие волны

Рассмотрим вкратце свойства одного из важнейших типов плоских волн: гармонических плоских волн, в которых давление зависит синусоидально от времени и координаты (в гл. Ш гармонические волны рассмотрим более подробно). Мы видели в § 5, что гармоническую плоскую волну, бегущую вдоль оси х, можно записать в виде

р = Ро cos {ait--kx е). (18.1)

При соответственном выборе начала отсчета времени (или координаты) начальную фазу е можно обратить в нуль. Часто удобна запись, в которой начальная фаза равна О или л/2:

р = Ро cos {at -. kx), р = Ро sin {(at - kx).

Фронты гармонических волн - это поверхности равных фаз. Для сред, подчиняющихся волновому уравнению, скорость гармонической волны не зависит от частоты и равна скорости любой плоской волны. В более сложных случаях фазовая скорость ока-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0175