Главная Общая акустика - создание упругих волн



ГЛАВА XV

ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ. ТВЕРДЫЕ ВОЛНОВОДЫ

§ 142. Отражение от идеальных стенок

Отражение волн в твердых средах сложнее, чем в жидкостях: если на границу твердого тела падает одна продольная плоская волна или одна поперечная, то отражаются сразу две - и продольная и поперечная. (Исключение: падение поперечной.волны, поляризованной перпендикулярно к плоскости падения; в этом случае отражается только одна волна того же типа, что и падающая.) Увеличение числа отраженных волн по сравнению с отражением в жидкости (и преобразование типов волн при отражении) связано с большим числом условий на границе твердой среды (см. § 137).

Будем рассматривать плоские волны, падающие на плоскую границу. Падающую волну будем считать либо продольной волной, либо поперечной волной с поляризацией в плоскости падения, либо поперечной волной с поляризацией, перпендикулярной к плоскости падения. Любую поперечную волну мржно представить как суперпозицию волн этих двух линейных поляризаций.

Из соображений симметрии ясно, что волна с поляризацией, перпендикулярной к плоскости падения, будет отражаться и проходить из среды в среду независимо от волн остальных двух типов: так как нормальные смещения границы для такой волны, так же как и нормальное напряжение, и касательное напряжение, лежащее в плоскости падения, равны нулю, то для смещений и напряжений остается только по одному граничному условию; поэтому число волн на границе будет всегда то же, что и для случая жидких сред, и отраженная и прошедшая волны будут всегда поперечными волнами той-же поляризации. Коэффициент отражения по смещению для такой волны равен -fl для свободной границы и -1 для абсолютно жесткой границы, т. е. границы, не допускающей скольжения. Легко получаются решения и для других случаев отражения и прохождения такой волны, вывод которых предоставляем читателю.

Займемся теперь более интересным случаем падения продольной волны или поперечной волны с поляризацией в плоскости падения: каждая из таких волн вызывает и волну своего типа при отражении и прохождении, и вторую волну. Задачи об отражении и прохождении волн этих двух типов будем решать стандартным способом.




Рис. 142.1. Векторы медленности падающей продольной (Si), отраженной продольной (Si) и отраженной поперечной волны (St)-

Продольную волну будем записывать при помощи скалярного потенциала ф, а поперечную - при помощи единственной не равной нулю компоненты i]) векторного потенциала в направлении, перпендикулярном к плоскости падения. Плоскость падения примем за плоскость xz и ось х расположим на границе. Отличной от нуля будет jf-компонента векторного потенциала и, как и скалярный потенциал, она будет зависеть только от координат х и г.

Будем предполагать, что отражение и прохождение правильные. Аналогично случаю жидких сред, это будет не всегда справедливо («закритические углы»), но при нарушении правильности от-д. ражения в общем случае она со-

хранится для гармонических волн. Интересная особенность твердого тела по сравнению с жидкостью: в нем может иметь место нарушение правильности отражения при падении поперечной волны и при отражении от идеальной (например, свободной) границы, а не только на границе двух сред.

Обозначим л;-компоненту медленности падающей волны через I; в силу закона Снеллиуса х-компоненты всех остальных волн, возникающих в процессе отражения и прохождения, будут равны той же величине I; 2-компоненты векторов медленности продольной и поперечной волн обозначим через , и Zt соответственно. Согласно волновым уравнениям имеют место соотношения

6 = Sl~l\ Й = S? g (142.1)

где 5, = l/ci и Sf = \lcf - медленности продольной и поперечной волн соответственно. Отсюда следует важное соотношение

S]-2l] = -{S]~2t). (142.2)

Пусть на границу падает волна продольного типа (рис. 142.1). Обозначим углы скольжения продольной и поперечной волн через Qi и Qt соответственно. Очевидно, всегда 0; <3 в. Имеем

I =s, cose, = s, cos е<, , = 5, Sine,,

1 = St sin Qt = SiYn* - cos* e„ (142.3)

где через n = Sf/S, обозначено отношение медленностей поперечной и продольной волн - величина, аналогичная коэффициенту преломления. Согласно (139.6) всегда п >]/2.

Зададим падающую волну скалярным потенциалом ф = f {t - - Ix-ZiZ). Вообще отразятся аве волны: одна продольного и одна поперечного типа. Если отражение правильное, то можно



ввести два коэффициента отражения:Z/, для продольной и для поперечной волны. Тогда отраженную продольную волну можно записать в виде

Таким образом, суммарный скалярный потенциал равен

Ф + ф = / (/ gx - + Vif {t-lx + l,z). (142.4)

Единственная не равная нулю компонента векторного потенциала равна

= q/f{t-lx + l). (142.5)

Подставляя (142.4) и (142.5) в граничные условия, выраженные при помощи формул § 141 через потенциалы и их производные, получим уравнения для определения коэффициентов отражения.

Рассмотрим этим способом отражение волн для важнейщих типов отражающих границ.

а) Свободная граница. Граничные условия в этом случае - обращение в нуль на границе напряжений а„, и ау. Условие

= О удовлетворяется величинами (142.4) и (142.5) автоматически. Подставляя эти величины в (141.8) и (141.9) и приравнивая напряжения нулю для значения z = О, получим граничные условия в виде

{S] - 2t) - = - (S? - 21%

df{t

Решая полученную систему уравнений относительно коэффициентов отражения, найдем

(142.6)

При нормальном падении продольной волны ( = 0) имеем = -1, 0. При падении под другими углами в нуль

обратиться не может, так как всегда > 25 > 2 jvij увидим, чтоZ также неЪбращается в нуль ни при каком угле скольжения.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0363