Главная Общая акустика - создание упругих волн



Таким образом, отраженное поле, как было сказано выше, действительно состоит из двух волн: одной - одноименной с падающей (продольной) и другой - разноименной.

Коэффициенты отражения можно выразить через импедансы продольной и поперечной волн .

Z; = p/Si sin е, и = р/S/ sin 6,.

В самом деле, подставляя в (142.6) выражения

l = St cos е„ = 5г sin е,, = St sin е„

получим

Zt sm*2et - Zicos*2et Zt sin* iQt + Zi cos* 2в1

Zj sin 49f ~Zt sin*2Qt+ZtC(ys*2ei

(142.7)

Можно получить при помощи (142.3) формулы для коэффициентов отражения, куда войдет только угол скольжения падающей волны 0,:

4 ctg* Qi\n* + in*-l) ctg*Wi -in* + (n*-2) ctg" Qi]* 4ctg*9, Уп* + {n*-l)ctg*Qi+ [„.* + (n* - 2) ctg*Qi]*

4ctg9; [n* + (n*-2)ctg*k\ (142 8)

ActQiVn*-\-(n* - i)ctg*Qi-\-[n*-\-(n* - 2)ctg*Qi\*

Эти выражения удобны, когда требуется проследить зависимость коэффициентов отражения от угла скольжения падающей волны. При стремлении угла скольжения продольной волны к 0° коэффициент отражения продольной волны стремится к -1, а коэффициент отражения поперечной волны стремится к нулю.

б) Абсолютно жесткая граница, не допускающая скольжения. В этом случае на границе должны обращаться в нуль компоненты ы,:, Uy и Нг смсщения чвстиц. Условис Mj,=0 выполняется для полей (142.4) и (142.5) автоматически. Из формул (141.7) найдем граничные условия в виде

Решая эту систему относительно коэффициентов отражения и пользуясь (142.3), найдем

Itlt-l cos(e,-f-9,) -llt + l~ cos (9,-9,)

sin (9,+9,)-sin (6,-9,)

cos(9,-9,) • (42.У)

Коэффициент отражения продольной волны обращается в нуль при 0, -j- 0, = 90°. В этом случае при отражении продольная волна



переходит целиком в поперечную с направлением распространения, перпендикулярным к направлению распространения падающей волны. Но тогда направления векторов смещения в падающей (продольной) и отраженной (поперечной) волне совпадают (рис. 142.2). Ясно, что при этом граничному условию можно удовлетворить, просто подбирая амплитуду и фазу смещений в поперечной волне так, чтобы они совпадали с амплитудой и фазой в падающей продольной волне. Пользуясь (142.3), получим, что угол скольжения, соответствующий полному переходу продольной волны в поперечную, равен 9 = arcctgл = = arctg Si/Sf. Этот угол скольжения можно назвать углом Брюстера, в соответствии с названием, принятым в аналогичной оптической задаче. Так как всегда < 1/У~2, то угол Брюстера всегда меньше 35°1548".

Формулы, дающие зависимость коэффициентов отражения от угла скольжения падающей волны, имеют вид


CfJ 1/-I- (п" - 1) Ctgii 6/ - ctg" 6/

+ (П2 - 1) Ctg2 -Ь Ctg« 6;

2ctg9f

(142.10)

Рис. 142.2. При падении плоской продольной волны на жесткую стенку, не допускающую скольжений, под углом скольжения О/ = arcctg п (угол Брюстера) отражается только поперечная волна.

jAn« -f (п2 - 1) ctg2 6/ -f- ctg2 в/ •

в) Абсолютно жесткая стенка, не допускающая касательных напряжений. В этом случае на границе должны обращаться в нуль нормальное смещение и и касательное напряжение а„. Из формул <141.7) и (141.9) получим граничные условия в виде

что дает для коэффициентов отражения следующие значения: -

,= 1. , = 0. (142.11)

Таким образом, поперечная волна при отражении не возникает. Картина отражения потенциала продольной волны такая же, как в жидкости при отражении от абсолютно жесткой стенки.

г) Жесткая гибкая пластинка, не допускающая касательных смещений. В этом случае на границе должны удовлетворяться условия обращения в нуль касательных смещений «д. и нормальных напряжений а. Это приводит к граничным условиям

li/i + ttt=--l, {St2t)¥,-2Um = -{St~2t).

Отсюда находим коэффициенты отражения

, = 1, q/ = 0.

(142.12) 461



Поперечная волна снова не возникает, но картина такая же, как для волны в жидкости при отражении от абсолютно мягкой стенки.

Совершенно аналогично можно решить и задачу об отражении от различных границ поперечной падающей волны с поляризацией, лежащей в плоскости падения (рис. 142.3). В этом случае -компоненту векторного потенциала падающей волны выберем в виде / (/-1х-2). Суммарный векторный потенциал падающей и

; : si

с.

Рис. 142.3. Картина отражения при падении поперечной волны, поляризованной

в плоскости падения.

отраженной поперечных волн и скалярный [потенциал отраженной продольной волны запишем в виде

+ = f{t-lx-ltz) + tf {t-lx + Itz), (142.13)

= <VJ(t~lx+ltZ). (142.14)

Тем же способом, что и для продольной падающей волны, решим задачи об отражении от границ типов (а), (б), (в), (г) и для падающей поперечной волны. Приведем результаты расчета коэффициентов отражения от этих случаев, обозначая теперь через п отношение 5/5

Для отражения от границы типа (а):

4 ctg" QtVn* + (n*~l) ctg2 9t - {l- ctg* QtY

" 4 ctg" jAn"+(n"-i)ctg«e, -f (1 - ctg8 e,)" s" + <=os" 26,

4S,(S?-2)

4 ctg 6,(1 - ctg" e,)

4 ctg" e, jAn" + (n"- 1) ctg" e, + (1 - ctg" e,)"

Zi sin 49t "~ Zt sin"2e, + Z,cos"2e,."

(142.15a)

(142.156)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [151] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0125