Главная Общая акустика - создание упругих волн



отношения плотностей т, только. угол скольжения падающей волны 9 о:

о „Г.2 , .,.„2п „„1 , „4/.; ,.„2о ч2„ (143.5а)

(143.56)

4n2ctge„(l+ctg-2eo)a,

44ctg2eo-a,a,]+nJ(l+ctg2eo)a, З.бв)

где введены обозначения

- . . Л = n? + (n? 2)ctg=0o;

at = у nt + {nt-I) ctg во, = ]/"п? + (п? - 1) с

Проследим, как меняются коэффициенты отражения и прохождения при изменении угла скольжения падающей волны. При нормальном падении" (6 о - 90°) получаем

а это те же формулы Френеля для потенциалов отраженной и прошедшей волн при нормальном падении на границу двух жидких сред с теми же плотностями и скоростями продольных волн. Скорость сдвиговых волн в данном случае роли не играет, и поперечные волны не возникают, как, впрочем, видно и из симметрии задачи. При скользящем падении фо = 0°) находим = -1; Ж, = Wt = 0. При стремлении угла скольжения падающей волны к нулю суммарное поле стремится к нулю в обеих средах, также аналогично тому, что мы нашли для границы двух различных жидкостей.

При изменении угла скольжения падающей волны возможно обращение в нуль коэффициента отражения о-В самом деле, при /га > > 1 коэффициент отражения положителен при бр = 90° и отрицателен при 9о О, причем все время сохраняет вещественные значения. Значит, при каком-то промежуточном угле падения коэффициент отражения обращается в нуль. Аналогично, при т < I коэффициент отражения отрицателен при нормальном падении и стремится к -fl при приближении к критическому углу поотношению к продольным волнам, также оставаясь вещественным. Значит, при каком-то угле скольжения бр > arccos га, коэффициент отражения и в этом случае обратится в нуль. Таким образом, условия возможности нулевого отражения при падении волны на твердую среду совпадают с соответственными условиями для двух жидкостей. Скорость сдвиговых волн в твердом теле сказывается только на величине угла скольжения, при котором отра-



жение обращается в нуль. Прошедшее поле, несущее в этом случае всю энергию падающего, состоит и из продольной, и из поперечной волны.

Коэффициент прохождения продольной волны обращ)ется в нуль при 1 = S\I2, т. е. при угле скольжения преломленной поперечной волны, равном 45°. Угол скольжения падающей волны равен при этом 9, - arccos («,/К2) и всегда меньше критического угла скольжения для продольных волн, так что в нуль обращается амплитуда продольной волны, уже успевшей обратиться в неоднородную по мере уменьшения угла скольжения.

Может обратиться в нуль и коэффициент прохождения поперечной волны: это происходит при критическом угле скольжения 9кр = arccos til для продольной волны. При этом угле скольжения коэффициент отражения равен единице, а продольная волна в твердом теле - плоская волна, бегущая вдоль границы.

Совершенно аналогичным способом можно выполнить расчеты и для задачи о падении продольной или поперечной волны в твердом теле на границу его с жидкостью.

§ 144. Рэлеевская волна

Вернемся к задаче о падении на свободную границу твердого тела продольной или поперечной волны и поставим вопрос: в каком случае отражается только волна другого наименования, чем падающая, т. е. поперечная при падении продольной волны и продольная при падении поперечной? Формулы (142.6) и (142.15) показывают, что условия обоих вариантов одинаковы:

{S]-2tf-AtUtQ. (144.1)

Преобразуем это уравнение, которое можно рассматривать как уравнение относительно компоненты медленности вдоль границы. Пользуясь выражениями (142.1) и освобождаясь от радикалов, получим

(5? -2gY-16g*(5f-g)(Sf-) = 0.

Поделим это уравнение на и, введя обозначение q = раскроем скобки и выполним упрощения; уравнение примет вид

9-89* + 24(l---)9-16(l---) = 0. (144.2)

Легко видеть, что это уравнение имеет относительно величины q один вещественный корень, лежащий между О и 1. В самом деле, подставляя вместо q нуль, получим в левой части (144.2) отрицательное число; подставляя вместо q единицу, получим положительное число. Значит, где-то между нулем и единицей действительно имеется искомый корень. Каков же физический смысл найденного решения < 1? Так как при этом I > то след

16* 467



волны бежит по границе медленнее, чем сдвиговая волна, а значит, и подавно медленнее, чем продольная волна. Таким образом, обе волны - и падающая и отраженная - неоднородные *).

Поле бежит вдоль границы с медленностью I и убывает в направлении от границы в глубь тела. Поле представляет собой совокупность двух неоднородных волн: одной - продольного и другой - поперечного типа, каждую из которых можно считать падающей (под мнимым углом скольжения), одновременно считая вторую отраженной (тоже под мнимым углом).

Но чаще рассматривают все получающееся поле как одну волну, распространяющуюся вдоль границы («рэлеевская волна»). Рэ-леевская волна распространяется без дисперсии. Скорость этой волны = 1/ меньше скорости сдвиговых волн. Отношение этой скорости к скорости сдвиговых волн зависит от коэффициента Пуассона, изменяясь от 0,875 (большой модуль сдвига) до 0,96 (водоподобная среда) при изменении коэффициента Пуассона от О до 1/2. Скорость рзлеевской волны мало зависит от модуля объемного сжатия во всем диапазоне его изменения от О до оо, но сильно зависит от модуля сдвига (с точностью до 10% скорости сдвиговой и рэлеевской волны пропорциональны друг другу). Ее распространение обусловливает, таким образом, преимущественно сдвиговая упругость, связанная с колебаниями среды вблизи границы.

Интересно отметить, что возможны вообще и другие поверхностные неоднородные волны, распространяющиеся вблизи свободной границы той или иной среды. Таковы, например, волны, которые могут распространяться в жидком полупространстве под действием силы тяжести (морские поверхностные волны). В этом случае сила веса является квазиупругой силой. Однако в этом случае распространение волн сопровождается дисперсией. Другой пример - жидкое полупространство, ограниченное натянутой мембраной или упругой пластиной (см. следующий параграф). Наконец, с аналогичной картиной в жидкой среде мы встречались, рассматривая волну в жидкости, бегущую вдоль импедансной плоскости с упругим импедансом. Рэлеевская волна может распространяться и при несжимаемости среды (v = 1/2). В этом случае Cj = 0,96 с,.

Волны Рэлея важны в сейсмике: поскольку они являются поверхностными, они расходятся при распространении от источника волн только в двух измерениях (например, землетрясения - по земной коре) и поэтому затухают медленнее (как 1/г по энергии), чем волны, распространяющиеся в объеме (обычные продольные и поперечные волны, убывающие по квадратичному закону). Поэтому их можно наблюдать на таких больших расстояниях от эпицентра землетрясения, на которых волны других типов уже не заметны.

*) Можно иначе прийти к этому же решению: найти, при каком условии одноименная отраженная волна имеет бесконечную амплитуду.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0138