Главная Общая акустика - создание упругих волн



Волны Рэлея применяют также в дефектоскопии для регистрации поверхностных трещин, которые являются рассеивающими препятствиями для таких волн. Их малая скорость удобна также для использования в линиях задержки.

- § 145. Влияние граничащей среды на поверхностные волны

Как действует толща океана на рэлеевскую волну, бегущую по дну? Нормальные смещения дна в рэлеевской волне создают в воде звуковые волны, но реакция водной среды также должна каким-то образом воздействовать на рэлеевскую волну. Расчет такого воздействия довольно сложен; но само явление влияния граничащей среды на волну, распространяющуюся вдоль поверхности, возникает и в других, более простых случаях. Поэтому рассмотрим качественную сторону влияния среды на простой модели: влияние граничащей жидкости на волну, бегущую по натянутой мембране.

Пусть поверхностная плотность мембраны равна рм. Рассмотрим поперечные плоские волны, бегущие на мембране в направлении оси X. Натяжение по оси х мембраны в расчете на один погонный сантиметр в направлении оси обозначим через Т. В отсутствие жидкости уравнение одномерного движения мембраны имеет вид

Рм«-7-з = 0,

где и - поперечное смещение точек мембраны в направлении оси 2. Скорость волн на мембране в этом случае равна c = YТ19к, а гармоническую волну, бегущую по мембране, можно записать

в виде ы = е*", где = й)/с„ = ]Лрм/7; дисперсия отсутствует.

Теперь предположим, что мембрана граничит одной стороной с жидкостью, плотность которой равна р и скорость звука с == ml к. Будем искать плоские волны частоты со, которые могут распространяться по такой «нагруженной» мембране в виде е*, где величину \ предстоит определить.

Волна поперечных смещений и. на плоскости z = О вызовет

в жидкости плоскую волну давлений вида Л ехр {j,\x + iY - V"i амнлитуда которой определится из граничного условия на поверхности мембраны: 2-компонента смещений частиц в жидкости при

2 = 0 должна равняться ы. Это дает и. = MY- ?Vp<o*, откуда находим амплитуду волны в среде:

Уравнение движения мембраны, граничащей с жидкостью, отли-чается>от уравнения для свободной мембраны добавочной силой:



давлением среды, и принимает вид

.д*и дх*

Для гармонической волны получим отсюда

(145.1)

Это и есть дисперсионное уравнение для волн на мембране, граничащей с жидким полупространством. Дисперсионное уравнение удобно представить в виде

Р 1

Рм V(l/k)*

(145.2)

и решать графически. На рис. 145.1 линии а изображают зависимость левой части уравнения (145.2) от /k (ветви с положительным


,Рис. 145.1. а и б - соответственно графики левой и правой части уравнения (145.2); кривые а соответствуют меньшим значениям p/kp„ (т. е. большей

частоте), чем кривые с.

И С отрицательным значением корня), а параболы 6i и - зависимости правой части уравнения для случая ft„ < ft (скорость свободных волн на мембране с„ больше скорости волн в среде) и для случая ft„ > ft (см < с). В обоих случаях есть точка пересечения параболы с верхней ветвью кривой а. Из построения очевидно, что в обоих случаях абсцисса точки пересечения, т. е. искомое значение l/k, лежит правее единицы и правее нулей кривых б, соответствующих значениям /ftM = 1- Следовательно,



искомое значение удовлетворяет неравенствам > и > м, т. е. решения соответствуют неоднородным волнам в жидкости - поверхностным волнам, бегущим вдоль мембраны медленнее волн на ненагруженной мембране и убывающим экспоненциально при удалении от мембраны. Так как реакция неоднородной волны на мембрану в данном случае носит массовый характер, то ее действие равносильно некоторой присоединенной массе, что и объясняет замедляющее действие неоднородной волны, которую «тянет» за собой волна на мембране.

Но в случае < k есть еще и комплексное решение для . Его легче всего найти для случая, когда величина р/рм мала по сравнению с единицей («легкая среда»). Такое решение будем искать в виде

где е < 1 и б1 < 1. Подставляя в (145.1), получим (б + /8) Ykl -k + 8kl + =

Возводя в квадрат обе части уравнения, имеем

(8 -г + 218г) (kl - + 8kl + iskl) = .

Разделяя вещественные и мнимые части, найдем

(б - в) {kl -k + 8kl) - 28гЧ = 4,

28{kl-k + 8kl) + kl{8-s) = 0.

Из второго уравнения следует, что б имеет порядок е. Следовательно, поправка к скорости распространения - второго порядка малости по сравнению с малым коэффициентом затухания волны е. Учитывая это обстоятельство, получим приближенно из первого уравнения

и из второго уравнения

S 1 „2 1 р2 ij

В этом случае, как видно из формул, скорость растет (во втором порядке малости) в результате реакции среды, а излучение волн приводит к затуханию волны, бегущей на мембране.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.011