Главная Общая акустика - создание упругих волн



Заметим, что при ft„ > ft дисперсионное уравнение может иметь еще два вещественных решения для соответствующих неоднородным волнам (эти решения показаны как пересечения кривой бд на рис. 145.1 с нижней ветвью кривой а), но эти решения соответ-jCTByroT неоднородным волнам, нарастающим при удалении от мембраны, и поэтому не могут создаваться волной, бегущей по мембране.

§ 146. Твердые волноводы

Подобно жидким слоям и трубам, твердые пластины и стержни ведут себя как волноводы: в них также без изменений могут распространяться только гармонические волны определенных типов - нормальные волны. Но в твердой среде, в отличие от жидкости, распространяются не только продольные, но и поперечные волны; кроме того, граничные условия для твердого тела сложнее, чем для жидкостей. Поэтому в твердом волноводе разнообразие нормальных волн больше, а сами эти волны образуют более сложные волновые поля, чем нормальные волны в жидком волноводе.

Мы рассмотрим только волноводы в виде слоя; при расчете удобно плоскость ху совместить со средней плоскостью слоя. Ось х расположим вдоль направления распространения нормальной волны. Толщину волновода обозначим через 2Л. Ограничимся случаем свободных стенок.

Один из типов нормальных волн в твердом волноводе похож на волны в жидком волноводе: это - нормальные волны, образованные каждая двумя поперечными плоскими волнами, поляризованными параллельно границам волновода. Смещения частиц в таких волнах происходят параллельно оси у и от координаты у не зависят. Граничные условия - обращение в нуль напряжений <7x2. Оу, о а при Z = ±Л. Непосредственной проверкой легко установить, что нормальные волны этого типа можно записать так:

Uy = Sin Sz = -i- (el+C -

Uy = eS* cos = 4- (e+ + eS-S),

где g -f = kt при условии = [{2n + 1)/21 n или t/г = nn соответственно (n - целое число). Критические частоты получатся из соотношений kth = 1(2п -f 1)/2] л и ft,/i = пп соответственно.

Распределение смещений по толщине волновода синусоидальное, причем по высоте укладьшается целое число полуволн. Набор нормальных волн получается такой же, как для жидкого слоя со свободными стенками, но роль длины волны звука играет длина сдвиговой волны. Каждая нормальная волна - это суперпози-



ция двух сдвиговых волн, каждая из которых переходит в другую при отражении на границе.

Более интересны нормальные волны, в которых смещения частиц лежат в плоскости хг. Такие нормальные волны уже нельзя образовать только одной парой плоских волн, потому что при отражениях от границ слоя продольные волны переходят в поперечные и обратно. Нормальная волна такого типа должна быть образована двумя парами плоских волн: парой продольных и парой поперечных волн, взаимно переходящих друг в друга при отражениях. На рис. 146.1 показаны волновые векторы всех четырех волн. Согласно закону Снеллиуса компоненты волновых векторов в направлении, параллельном оси волновода, равны у всех четырех плоских волн, составляющих нормальную волну.

Нормальную волну такого типа можно записать через скалярный потенциал и (ввиду того, что движение в такой волне плоское) единственно отличную от нуля у-компоненту векторного потенциала в таком виде:

(146.1)


Рис.

(две

Так как по оси z должны получаться стоячие волны, то должно быть а = 6 ис = . Все нормальные волны можно разбить на две группы: в одной из них смещения частиц симметричны относительно средней плоскости слоя, т. е. имеют место равенства

«;.(z) = «x(-Z); «Л2) = -2),

а в другой группе смещения антисимметричны: «X (Z) - -Их (-г); и, (г) = (-г).

Симметричные волны можно записать в таком виде:

Ф = Леcos ,г, ij; = sin ,г. (14Q.2) Антисимметричные волны выразятся аналогичными форму.дами

Ф := Ceg sin ,z, г) = De* cos г. (146.3)

Граничные условия - это обращение в нуль напряжений аг и Стгг при Z = ± h. Из ЭТИХ условий получим дисперсионнос уравнение, т. е. уравнение, связывающее g с частотой для каждой нормальной волны; определив \, можно будет найти и отношение амплитуд А к В или С и D.

Начнем с волн симметричного типа. Граничные условия найдем, подставляя (146.2) в "(141.13) и полагая z = ± h:

А (А? - 2f) cos Zih - B2ilU cos Ith = 0,

Ai2lli sin lih - В (A? - 2t) sin = 0.

146.1. Волно-векторы четы-плоских волн продольные и поперечные), образующих одну нормальную волну в твердом волноводе.

(146.4)



Исключая коэффициенты Л и В, получим дисперсионное уравнение

ik] - 2lJ tg + 4l\iZt tg = 0. (146.5)

При заданной частоте это уравнение имеет бесконечный дискретный набор решений для . Для каждой частоты только несколько из первых решений для % будут вещественными, т. е. только несколько номеров нормальных волн будут распространяющимися; для других номеров волн - чисто мнимое (как в жидких волноводах) или комплексное.

Особенно интересна нулевая волна, т. е. волна, распространяющаяся при любой частоте (критическая частота- нуль). Напомним, что в жидком волноводе со свободными стенками такой волны нет, в твердом же волноводе есть две такие волны (симметричная и антисимметричная). Будем следить за симметричной нулевой волной, начиная с очень малых частот, когда величины t,ih и tth можно считать малыми по сравнению с единицей. Из (146.2) следует, в частности, что при этом распределение продольных смещений по сечению постоянно с точностью до квадрата этих малых величин. В дисперсионном уравнении можно положить приближенно (с той же точностью) tg th = th п ig t,th = tih. Тогда (146.5) примет вид

{k]-2iy+ 411 = 0:

Отсюда видно, что при вещественном , т. е. в распространяющейся волне, величина t,i должна быть чисто мнимой: продольная волна должна быть неоднородной поперек слоя. Подставляя сюда = = k] - I" и упрощая, получим

>2 , Р<

A{k]-k]) 4(x(X + ti)/(X + 2fi)-

Но 4р (Л + р)/(Я + 2р) = Е„„ - модуль Юнга для пластины. Если учесть еще характер деформаций, то ясно, что при малых частотах - это «юнговская» продольная волна в пластине. Пока частота остается малой, скорость этой волны от частоты не зависит. По мере роста частоты скорость монотонно падает и распределение смещений по сечению делается неравномерным. Можно показать, что при увеличении частоты величина , также делается чисто мнимой, и асимптотически при больших частотах величины [,/г и t,th делаются большими по сравнению с единицей. Тогда будет приближенно tg t,ih = /, tg t,th = i, и дисперсионное уравнение (146.5) приведется к виду

(й?-2Е)Ч4Е?/С.-0,

совпадающему с дисперсионным уравнением рэлеевской волны. Следовательно, асимптотически юнговская волна при безграничном увеличении частоты превращается в две рэлеевские волны, бегущие



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [155] 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0145