Главная Общая акустика - создание упругих волн



(синфазно) каждая по своей стороне слоя. Смещения заметны только вблизи границ («скин-слой»), а средняя часть слоя практически покоится.

Поведение следующих номеров нормальных волн более сложно. Без численного расчета удается выяснить только поведение некоторых нормальных волн вблизи критических частот и асимптотическое поведение всех распространяющихся нормальных волн при стремлении частоты к бесконечности.

Так, для тех волн, у которых, как и в жидких волноводах, фазовая скорость обращается в бесконечность на некоторой частоте, можно найти эти «критические» частоты. В самом деле, при этой частоте должно выполняться условие = О и, следовательно,

= kl и It = kf Подставляя в (146.4), приведем граничные условия к виду

А cos kih = 0, В sin kfh = 0.

Эти условия удовлетворяются либо при kfh = пп (тогда при этой частоте Л = 0), либо при fef/i = " п (тогда Б = 0).

В первом случае при критической частоте получается стоячая волна поперечного типа с фронтами, параллельными стенкам волновода. Во втором,случае получается волна продольного типа.

Для каждой волны (кроме нулевой) найдется частота, при которой = fe;/2. Для волны номера пфО частота определится соотношением cos tih = О, откуда kfh - 2"~ п. При этой частоте

Л = О и волна состоит из двух сдвиговых волн, бегущих под углом 45° к оси волновода, и имеет фазовую скорость с,-1/2. Такую волну можно записать в виде

ф = 0; = Ве 2" "sinnz.

Еще не доходя до этой частоты, при угле скольжения Эр = = arccos {ctlci), продольные волны делаются неоднородными и остаются неоднородными при дальнейшем повышении частоты. Асимптотически при (о-.оо всякая распространяющаяся волна* (кроме нулевой) превращается в пару сдвиговых волн, бегущих под углами скольжения, стремящимися к нулю, и в пару неоднородных продольных волн, заметных только вблизи границ. Следовательно, фазовая скорость этих волн убывает, стремясь асимптотически к Ct-

Аналогичным образом можно рассмотреть и антисимметричные волны. Для них граничные условия запишутся в соответствии с (146.3) в виде

C{k]~2\)six\lih + D2illt\nlth = , С 2111. cost,h + D {k] - 2g)cos Uh - О,



что приводит после исключения амплитуд к дисперсионному уравнению

ik] - 2tf tg lih + Aflilt tg Ith - 0.

Найдем нулевую антисимметричную волну. Для малых частот . величины tih и малы и должны быть чисто мнимыми. Если, однако, положить, как и для симметричных волн, tg Z,ih = и tg = lih, то члены, содержащие в дисперсионном уравнении, взаимно сокращаются: это слишком грубое приближение. Поэтому приходится для получения приближенного решения продолжить разложение тангенсов до второго члена:

tg = lih + - ilthf; tg Zth = t,th+±- {Ithf.

Тогда дисперсионное уравнение приводится к виду

k\ + \h [ik] - 21f ik] - t) + At (ft? - m = 0.

откуда следует, что решение должно удовлетворять неравенству I > kf. Считая, что это условие выполнено, и сохраняя только старшие члены по % (члены с четвертой степенью ), найдем

6 - ± К 4 (/fe2 A)/,2 - \ E„„h*-

Это - известное выражение для волнового числа изгибных волн на пластине. Положительный знак корня соответствует распространяющимся изгибнымволнам, а отрицательный-волнам, экспоненциально затухающим вдоль волновода. Закон дисперсии для изгибных волн простой: при повышении частоты скорость растет пропорционально корню квадратному из частоты. Этот закон роста, однако, нельзя экстраполировать на высокие частоты: по мере того как величина kth делается не очень малой по сравнению с единицей, рост скорости замедляется и при стремлении частоты к бесконечности нулевая нормальная волна превращается в пару рэлеевских волн, бегущих вдоль верхней и нижней границ волновода. Но, в отличие от случая симметричной нулевой волны, эти рэлеевские волны сдвинуты одна относительно другой на полволны.

Поведение волн высших порядков похоже в целом на поведение симметричных волн. Фазовая скорость обращается в бесконечность или при kth - л (тогда при этой частоте С = О и

волны рождаются как поперечные), или при ft,/i = пл (тогда D = О и волны рождаются как продольные). При увеличении частоты скорости всех распространяющихся волн стремятся асимптотически к скорости сдвиговой волны.



ГЛАВА XVI

СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

§ 147. Типы сферических волн в твердом теле

Как в жидкости, так и в твердой среде колеблющиеся тела конечных размеров создают сферические волны, т. е. волны, которые на достаточном удалении от тела убывают вдоль каждого радиуса-вектора по закону 1/г и в которых угловое распределение амплитуд (характеристика направленности) не меняется с увеличением расстояния. Различие состоит в том, что в твердой среде колеблющееся тело излучает не только продольную волну, как в жидкости, но и поперечную, и каждая из них имеет свою характеристику направленности и свою скорость распространения.

Будем пользоваться сферической системой координат с радиусами-векторами, меридианами и параллелями в качестве координатных линий и с полюсом в центре волны. Как и для жидкости, будем изучать волны, для которых угловые зависимости величин, характеризующих волну, остаются неизменными не асимптотически (на большом расстоянии от центра волны), а начиная от самого центра. Все источники таких волн могут быть осуществлены в виде сфер с определенным распределением смещений на поверхности, причем для получения всех нормальных волн придется вообще задавать не только нормальные, но и касательные смещения или напряжения.

Мы ограничимся сферическими волнами, создаваемыми простейшими источниками: пульсирующей сферой (монополь), поступательно осциллирующей жесткой сферой (диполь) и вращательно осциллирующей жесткой сферой («крутоль»). Последний источник и чисто поперечная волна, им создаваемая, не имеют аналога в жидкой среде. Кроме того, рассмотрим стоячие сферические волны, а также колебания сферических полостей в твердой среде. Начнем с простейшего случая сферически-симметричных волн.

§ 148. Сферически-симметричные волны. Радиальные колебания твердой сферы

Из соображений симметрии ясно, что поперечные сферически-симметричные волны не существуют. Единственно возможная сферически-симметричная волна - продольная волна с чисто радиальными смещениями. Такую волну можно охарактеризовать



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163


0.0088