Главная Общая акустика - создание упругих волн



скалярным потенциалом смещений ф, также имеющим сферическую симметрию. Единственная отличная от нуля радиальная компонента смещения выразится через потенциал формулой

u = f. (148.1)

Нормальное напряжение на сферических координатных поверхностях выразится формулой

Но для сферически-симметричного случая

а в силу волнового уравнения Дф = (l/c?) ф. Поэтому напряжение можно переписать в следующем виде:

a„ = r + 2г)Aф-4г-i-f = fx-c-1-f

В частности, для гармонической волны найдем

a,. = -p(ft?ф-f-f f ). (148.2)

Полученных формул достаточно, чтобы найти сферически-симметричные собственные колебания твердой сферы при тех или иных граничных условиях на ее поверхности, поле монополя в твердой среде, а также колебания сферической полости в твердой среде. В этом параграфе рассмотрим колебания твердой сферы.

Пусть сфера радиуса а помещена в вакуум. Граничным условием на поверхности сферы явится обращение в нуль нормального напряжения на поверхности сферы; остальные граничные условия выполнятся автоматически вследствие симметрии движения. Потенциал смещений для искомого колебания должен иметь вид ф = = (sin kir)/r, где ki, а вместе с тем и частота найдутся из граничного условия. Подставляя в (148.2), получим уравнение частот в виде

[{kiaf - 4] sin kfi +. 4k,a cos k,a = 0 или, после элементарного преобразования,

Напомним, что соответственное условие для жидкой сферы имеет 478



вид ka = пп, где п - целое. Уравнение частот удобно решать графически, преобразовав его к виду

kia - nn= arctg -


Рис. 148.1. Графическое определение собственных частот сферически-симметричных колебаний твердой сферы со свободной поверхностью.

На рис. 148.1 семейство прямых, проведенных под углом 45° к осям, изображает различные ветви левой части уравнения в функции от kia, а кривая с разрывом - правую часть уравнения. В точке разрыва знаменатель аргумента правой части обра- ♦ "-Z "f щается в нуль. Этому соответствует значение kfl =

= 2 (Cf/ci) < К27 С другой стороны, правая часть до раз- -ж/2 рыва остается большей, чем kfi. Поэтому в верхней полуплоскости пересечений кривой с семейством, дающих искомые значения kfi, нет; первое пересечение имеет место с прямой у = kfi - п, второе - с прямой у = kfl - - 2n и т. д., как видно из рисунка. Значение п равно числу сферических узловых поверхностей, на которых напряжение обращается в нуль. Колебание наименьшей частоты имеет только одну узловую поверхность - поверхность самого сферического объема. Для жидкой сферы того же радиуса и с той же скоростью продоль- ных волн, что и в данной твердой среде, собственные значения а давались бы пересечениями семейства с осью абсцисс: все реше-. ния были бы больше, чем для твердой сферы. Значит, при условии равной скорости звука собственные частоты для - сферически-симметричных колебаний твердой сферы ниже, чем для жидкой сферы того же радиуса.

Для собственных частот твердой сферы, ограниченной абсолютно жесткой сферической границей, уравнение частот получится из требования равенства нулю смещения частиц на границе: д(р/дг= = О при г = а. Это приводит к частотному уравнению того же вида, что и в жидкости: tg kfi - kfi.

Обратим внимание на то, что минимальный размер резонансной сферы при обоих типах граничных условий и при любом коэффициенте Пуассона имеет порядок длины продольной волны.

§ 149. Монополь в твердой среде

Потенциал смещений, создаваемый в твердой среде гармоническими пульсациями сферы, т. е. потенциал гармонического монополя, имеет вид

Ф = Ле*7-- (149.1)



Смещение и и скорость частиц уимеют соответственно]]вид

.ikir-\ >,r . . . iktr-1 Jll-

u = A--e , v= - i(ou = - i(oA--p-e

Отсюда видно, что объемная скорость V монополя (определяемая, как и для жидкостей, соотношением V = ]im4nr*v) связана

с коэффициентом А формулой

V = ioAnA, так что потенциал можно записать в виде

. V е

Смещение и скорость частиц выразятся через объемную скорость так:

Нормальное напряжение на сфере радиуса г найдем из (148.2):

.... V (ktr)*-4 + 4iktr Jk,r "~ ю 4ягЗ

Из этих формул можно найти мощность, излучаемую монополем, имеющим заданную объемную скорость. Для этого на сфере любого радиуса найдем импеданс данной волны Z = - o„lv. Средняя за период плотность потока мощности будет равна вещественной части импеданса, умноженной на половину квадрата модуля скорости частиц на выбранной сфере.

Импеданс на сфере равен

„ iti[(fe,r)"-4 + 4tM 4 + 4(fefr)-(M , {hr)* -~ ar{iktr-l) f ktr[l + {kir)*] f-1-f-(fe/r)"*

(149.2)

Квадрат модуля скорости частиц есть

il - 1* I (4яг")2 • Таким образом, полная излучаемая мощность составит

У = 4 4лг Re Z I о Р = pctk] I V f. (149.3)

Эта формула совпадает с выражением для средней мощности, излучаемой монополем в жидкой среде.

При вычислении мощности можно было бы рассмотреть поле волны на большом расстоянии от центра волны и взять асимптотические выражения для напряжения и скорости частиц. Это дает



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163


0.0119