Главная Общая акустика - создание упругих волн



выражения

Таким образом, вдали от источника напряжение и скорость синфазны (и различаются знаками). Значит, при нахождении мощности можно просто взять половину произведения модулей напряжения и скорости, и это даст, после умножения на поверхность сферического фронта, проходящего через данную точку, среднюю излучаемую мощность. Это снова приведет к"той же формуле (149.3).

Рассмотрим подробно зависимость вещественной и мнимой частей импеданса от частоты и радиуса (точнее, от произведения ktr). Вещественная часть импеданса ведет себя в точности так же, как и для жидкой среды. Но поведение мнимой части совершенно другое. При малом радиусе реактивная часть импеданса равна приближенно

. 4рс< . 4ц ktr cor

т. е. имеет характер упругости, в противоположность случаю жидкой среды, где реактивная часть импеданса имеет массовый характер (присоединенная масса). При стремлении fe,r к нулю импеданс стремится к бесконечности. Это значит, что при понижении частоты или уменьшении радиуса излучателя среда ведет себя по отношению к излучателю как все более жесткое тело. Это снова противоположно поведению жидкости, которая ведет себя в таком случае как все более мягкое тело: реактивная часть импеданса на поверхности малого пульсирующего шарика, погруженного в жидкость, есть - грсог и эта величина стремится к нулю при kr -> 0.

Дальнейшее поведение мнимой части импеданса при увеличении частоты зависит от коэффициента Пуассона. Если коэффициент Пуассона меньше 1/3, то, согласно (139.6), 4k]- k] > О и реактивная часть импеданса сохраняет характер упругости при любой частоте. Но при v > 1/3 величина ik] - k] отрицательна, и поэтому при увеличении частоты упругий импеданс уменьшается, обращается в нуль, а затем меняет знак, превращаясь в импеданс массового типа. Частоту, при которой мнимая часть импеданса обращается в нуль, можно рассматривать как резонансную частоту вынужденных колебаний сферической полости данного радиуса г, в которую помещен излучатель, создающий вынуждающую силу. Условие резонанса имеет вид

4 + 4(V)-(W = 0,

что, согласно § 139, можно записать еще и так:

2(1-2v) 4(1-v)

(V)= 3v-l (V)= 3v-l •



При резонансной частоте полости звуковая энергия излучается в среду самым выгодным образом: вся мощность излучателя расходуется только на излучение и требуемая реактивная мощность равна нулю. Импеданс среды равен при этом

Особенно интересен случай водоподобных сред (v ~ 1/2). Тогда при резонансной частоте kr 2, т. е. на дуге большого круга полости укладываются две длины сдвиговой волны. При абсолютной несжимаемости среды при резонансе точно kff = 2. Вещественная часть импеданса в несжимаемой среде равна нулю при любой частоте; таким образом, в несжимаемой среде полный импеданс полости при резонансной частоте равен нулю, излучение .отсутствует, и, следовательно, такая полость может совершать свободные незатухающие колебания.

Обратим внимание на сходство колебания пустой полости в водоподобной твердой среде и газового пузырька в жидкости. Роль упругости газа играет сдвиговая упругость среды. Размер резонансной полости (в отличие от резонансной сферы, см. § 148) мал по сравнению с длиной продольной волны, хотя колебания в среде чисто продольные. В следующем параграфе мы увидим, что сходство распространяется-и на свободные колебания полости и на рассеяние ею продольных волн.

§ 150. Колебания сферической полости в твердом теле. Рассеяние на резонансной полости

Теперь найдем свободные колебания полости в сжимаемой среде. В этом случае при радиальных колебаниях происходит излучение продольной волны и колебания затухают; значит, частота таких колебаний комплексна. Вещественную часть частоты и ее мнимую часть, равную коэффициенту затухания собственных колебаний полости, найдем, приравнивая нулю полный импеданс поверхности полости: колебания должны происходить в отсутствие сторонних сил. Значит, условием собственных колебаний будет уравнение

{k,af - 4J4ikia = 0, (150.J)

где а - радиус полости.

Решим его приближенно в наиболее интересном на практике случае водоподобной среды. Тогда колебания полости затухают слабо. В самом деле, примем, что комплексная частота равна со (1 - ге), где е] С 1, и подставим в (150.1) вместо ki и k( соответственно величины ft, (1 - ге) и ft, (1 - /е). Тогда приближенно (с точностью до е) условие обращения в нуль импеданса разобьется на два: ft,a = 2 и е = Vkfi = ft/ft/ *). Итак, частота

*) Мнимостью, появляющейся в Ы, можно пренебрегать.



собственных колебаний полости практически равна резонансной частоте ее вынужденных колебаний и затухание действительно мало.

В веществах типа резины отношение Ур может достигать нескольких сотен; следовательно, радиус полости, совершающей свободные пульсационные колебания данной частоты, может составлять всего несколько сотых долей длины продольной волны этой частоты в среде. Такие колебания убывают медленно, «высвечиваясь» в виде продольных сферических волн и затухая по закону ехр [-{kilkt) at]. Добротность колебаний равна, таким образом,

2 kl К 2(1-2v) . 2 ц

Следует иметь в виду, что приведенный расчет добротности учитывает затухание колебаний в результате только излучения продольных волн пульсирующей полостью. Но обычно в водоподобных средах имеется значительное внутреннее трение, которое повышает затухание собственных колебаний полости и уменьшает их добротность (сравните с § 89). Поглощение в водоподобной среде связано со сдвиговыми деформациями, и его обычно можно учесть, приписывая комплексность модулю сдвига среды, т. е. полагая его равным р (1 - щ). Если считать, что т] < 1, то, подставляя комплексное значение модуля сдвига в выражение для волнового числа сдвиговой волны, получим условие резонанса в виде

{ktaf{\ --г/е + щ) - 4 + Aikfi + 4ejfe,a = О,

откуда найдем: kfO = 2 и е = Va [kiu + r\). Таким образом, частота собственных колебаний остается той же, что и в несжимаемой среде, и в этом случае, а затухание соответственно возрастает; добротность теперь принимает значение

kta + ri 2{ki/ki) + r]

Мы видели, что резонаторы, помещенные в жидкость (пузырьки, резонаторы Гельмгольца и т. п.), весьма сильно рассеивают падающий на них звук резонансной частоты. Естественно предположить, что велико будет и рассеяние звука (продольных волн) на полости, резонансная частота которой совпадает с частотой падающего звука. Механизм этого рассеяния такой же, как и в жидкости: под действием падающей волны полость придет в интенсивные колебания и будет переизлучать энергию падающей плоской волны в виде сферической волны.

Следует заметить, что, как и в жидкости, рассеянное поле будет состоять не только из сферически-симметричной волны, излучаемой полостью при ее колебаниях монопольного типа, но и из излучения другими видами колебаний (дипольными и т. п.). Объемная скорость для этих других колебаний равна нулю: поток смещения через границу полости в разных частях имеет разные знаки и



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163


0.0129