Главная Общая акустика - создание упругих волн



sin 9 будем пока опускать. Сила, действующая на грань rdQ г sin 6 и обусловленная напряжением - аф равна

- rsinededф.grф; а сила, действующая на противоположную грань, равна

sin edQdff- а,ф + dr.jp (r sin 9 dQ d(f a,).

Результирующая этих двух сил равна

sinQ drdQd(p-{ra).

Далее, силы, приложенные к противоположным граням dr X г dQ равны г dr dQ-or и направлены по радиусам-векторам, одна - к центру и другая - от центра. Интересующие нас компоненты сил - это проекции указанных сил на плоскость параллели (компоненты вдоль полярного диаметра взаимно уничтожаются). Эти проекции равны по абсолютной величине г sin 9 dr d9-и направлены одна к центру параллели и другая от центра. Результирующая их направлена вдоль параллели и равна г sin 9 dr dQ dtp x X Офг. Таким образом, результирующая всех сил, приложенных к данному элементу объема, направлена по касательной к параллели и равна

sin 9 dr dQ dcp (ra) -f r sin 9 drdQ dcpa =

= r4inQdrdQdfpl + (yr] . Значит, уравнение движения данного элемента имеет вид

рг Sin 9 dr dQ йф и = г sin 9 dr dQ dcp {- -f -jr (т,ф .

Деля обе части на объем элемента, получим уравнение движения-в, виде

Остается выразить напряжение оф через смещение и. Деформация сдвига элемента равна половине изменения угла между ребрами dr и г sin 9 d(f). Если бы направление ребра г sin 9 dtp не менялось, то это изменение угла равнялось бы duldr. Но это ребро поворачивается на угол и/г. Учитывая направление поворота, , видим, что эту величину следует вычесть из duldr, чтобы получить искомую деформацию:

Соответственное сдвиговое напряжение равно, следовательно,

( ди и \



Подставляя в уравнение движения, найдем уравнение для и в виде

Для гармонического колебания получаем отсюда

Это - известное уравнение сферических функций Бесселя первого порядка. Решение, соответствующее расходящейся волне, есть, как легко проверить и непосредственной подстановкой,

иА-е"*. Амплитуда А определяется из граничного условия и (а) = UqI

Таким образом, окончательно поле крутоля получаем в виде u = Uq--~--r-e sine.

" r* tkta- 1

Отсюда легко найти напряжение на поверхности крутильно осциллирующего сферического излучателя сдвиговых волн:

( ди и\ а* b - bikta-(kia)* . „

Характеристика направленности поля крутоля совпадает с характеристикой вращающегося диполя (рис. 107.1).

Касательный импеданс среды на поверхности сферы найдем по формуле

1+4 (ktaf

-(соыв sin 6 аш \-\- (kiO)*

Реактивная часть импеданса всегда положительна: реакция среды носит характер упругости; импеданс постоянен по всей сфере.

Особенно интересен случай малого радиуса сферы по сравнению с длиной сдвиговой волны. Тогда

t--J + i(W = - + PQ(W.



Реактивная часть равна сопротивлению упругости при статическом сдвиге в слое толщиной в 1/3 радиуса сферы. Активная часть импеданса мала по сравнению с реактивной: она относится к касательному импедансу в плоской сдвиговой волне как (Jfea)*: 1.

Крутильный момент, с которым крутоль должен действовать на среду, чтобы создать данное излучение, равен

M = - lor2nasin4d6

или, согласно (151.2),

М = 8яй«о-r+(W-•

Если плотность вещества сферы есть р, то момент инерции сферы равен (8/15) пар и крутильный момент, который следует прикладывать к сфере, чтобы получить то же движение, нужно увеличить на М = - (8/15) napuo (У (р/р). Суммарный момент равен М + М =

= 8яй«„--TTW- -•

Если сфера есть отвердевший участок самой среды, то в этой формуле следует положить р = р.

Длямалого радиуса сферы приближенно М == Snixuga.

Наконец, найдем мощность излучения крутоля. Так как угловая скорость вращения сферы равна - iauja, то средняя активная мощность излучения / найдется как-- 1т/И-((ои,/а), т. е.

г 4 2 [kta)

Для малого радиуса сферы приближенно

J = -Y па(л\х.и1 {kiof.

В этом случае излученную мощность можно с достаточной точностью выразить через модуль момента М или через модуль его реактивной части в виде

J 1 CO«pC, / kt\M\\2

2 24я

§ 152. Диполь в твердом теле

В жидкости дипольный излучатель - осциллирующая малая сфера. Назовем поле, создаваемое осциллирующей малой сферой в твердом теле, также дипольным излучением и найдем его характеристики.

4Н9



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [160] 161 162 163


0.0128