Главная Общая акустика - создание упругих волн



Диполь в твердом теле может быть двух видов: это может быть сфера, вложенная в полость того же радиуса так, что среда может свободно скользить по поверхности сферы, и это может быть сфера, «вмороженная» в среду и увлекающая за собой среду. Хотя граничное условие в первом случае похоже на граничное условие для жидкой среды, поля в жидкости и в твердом теле будут совершенно различны: помимо потенциального поля смещений продольной волны (похожего по форме на поле в жидкости), в твердом теле в обоих случаях появится еще и вихревое поле сдвиговых волн, для которого никакой аналогии в жидкой среде нет.

Дело в том, что для диполя в жидкой среде на границе сферы имеется только одно граничное условие - совпадение нормальных смещений (или скоростей) сферы и среды: = и cos 9 (угол отсчитывается от оси осцилляции). Это же требование остается и для осциллирующей сферы в твердом теле, но к нему добавляется еще условие обращения в нуль касательного напряжения на поверхности сферы г = а: ае = О (первый случай), либо условие равенства касательных смещений ue = - и sin 9 (второй случай). Поэтому, взяв скалярный потенциал в таком же виде, как и для жидкости,

MJecosQ, (152.1)

мы получим желательное угловое распределение (по косинусу) нормальных скоростей частиц, но второе условие окажется неудовлетворенным. Поэтому в среде возникает еще и вихревое поле. Его можно описать векторным потенциалом, который давал бы такое же угловое распределение для нормальных скоростей. Это- вектор с единственной не равной нулю компонентой, направленной по параллели и равной

= AMe"ts-mQ-i, (152.2)

где /ф - орт параллели.

Теперь можно распорядиться двумя остающимися пока неопределенными величинами М и А так, чтобы удовлетворить обоим граничным условиям.

Начало расчета одинаково для обоих видов второго граничного условия. Смещения частиц будут происходить в меридиональных плоскостях с полярной осью, совпадающей с направлением осцилляции сферы. Компоненты смещений выражаются через скалярный потенциал ф и не равную нулю компоненту яр векторного потенциала следующим образом:

• ", = - + 41 + 4**4.



Нормальные н касательные напряжения в меридиональной плоскости равны в данном случае а„ = luaa + 2ци,/, а = 2цщ0. Компоненты тензора деформации равны

dur 1 / Sue 1 , I dur\ .

Подставляя сюда (152.3) и пользуясь уравнениями движения

приведем выражения для компонент тензора напряжений к виду

(152.4)-

Подставляя значения ф и if из (152.1) и (152.2), можно переписать, формулы (152.3), (152.4) в виде

a.e = -psine{2-,(-i-/?.) + где введены обозначения

(152.5>



Дифференцирование дает:

dRt 2-2iktr-(ktr)* ik,r

d (rRt) dr

(v«.) -

l-iktr-{ktr)\ik,r

3-3»У-(У)" ik,r

d dr

- 3 + 3tV + 2 (ktrf - i (ktrr jk,r

Соответственные выражения производных для Rt получатся просто заменой .ft, на ft; в этих формулах. Подставляя найденные выражения в (152.5), найдем:

4Я.З

COS е ([2 - 2/V - (ftir)Ie*" -f + 2(iV-l)eV),

+ [l-ift,r~(Vne"), <Угл = -lcose {[{ktrf (ikr- 1) +

+ 4 [3-3tV-(Vn]

4Л [3 - 3iV - ikr?] e*"), = -p-; Sin e {2 [3 - 3fft,r - (krf] e*-

- A [6 - 6ift,r - 3 (йг)»» + / (ft,r)»] eV).

(152.6)

Характеристики направленности для щ и а - обычные дипольные характеристики. Направленность для «9 и Огв дается такой же характеристикой, как и для крутоля. Обе характеристики в пространстве можно получить, вращая вокруг оси х систему четырех одинаковых окружностей, касающихся осей х и у в начале координат. При этом ось х соответствует направлению осцилляции.

Теперь найдем выражение для силы F, с которой сфера действует на среду. Эту силу можно выразить следующим интегралом по всей поверхности сферы:

F = - (ог COS 6 - ог sin 6) dS.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163


0.0224