Главная Общая акустика - создание упругих волн



Ввиду осевой симметрии всей картины можем принять за элемент поверхности идущую по параллели полоску ширины а dQ; тогда dS = 2яа* sin 9 d9 и интеграл примет вид

я

F = - 2яа J (о„ cos 9 sin 9 - а, sin* 9) dQ.

Подставляя сюда значения Огг и Ore для г = а из(152.6), получим после простых преобразований

= - Р РМ( 1 - -i- 2 Л (1 - ф) еР], (152.7)

где введены обозначения: а = kia; р = kta.

Случаи скользящей и вмороженной сферырассмотрим отдельно.

Для скользящей сферы одним из граничных условий является равенство нулю касательного напряжения на ее поверхности. Полагая в последней формуле (152.6) Огв = О, найдем А:

Полученные выше формулы точные; они справедливы для любого размера сферы (или для любой частоты). Теперь дадим приближенные величины для сферы, малой по сравнению с длиной сдвиговой волны (и подавно по сравнению с длиной продольной волны в среде): будем считать малым р (и подавно а) и будем пренебрегать величинами и р по сравнению с единицей. Подставляя (152.8) в (152.7), получим при этом условии

F = -p = -рсоШ. (152.9)

Далее, полагая г = а в (152.6), выразим М через амплитуду колебаний сферы и (пренебрегая, как и в предыдущейформуле, малыми второго порядка по а и р). Для этого подставим в первое уравнение (152.6) величину (152.8); вначале придется сохранять все члены в числителе и в знаменателе, потому что старшие члены сокращаются. Произведя вычисления, найдем, пользуясь соотношением Uf = и cos 9:

~ Зр2 + аЛ Зр2 + а V

Теперь и силу, действующую со стороны сферы на среду, сможем выразитьчерез смещение сферы:

Если плотность сферы равна плотности среды р, то к f следует еще добавить инерциальную силу, соответствующую массе сферы,



равную - р(о*--лаи; однако этой величиной можно пренебречь по сравнению с упругой реакцией среды. Таким образом,, F можно считать силой диполя в твердом теле. Очевидно,

Отсюда видно, что коэффициент упругости для реакции среды равен .

V If I 12р(о"яаЗ >(А, + 2(х) , 12яах

Здесь учтена только реактивная часть силы упругости, соответствующая данному смещению сферы.

Полученных данных достаточно для того, чтобы найти энергию, излучаемую осциллирующей сферой в виде продольных и поперечных волн в окружающую среду. В самом деле, мощность излучения равна половине произведения амплитуды скорости колебания сферы на компоненту силы диполя, находящейся в фазе с этой скоростью. Скорость равна -шы, а активная компонента силы есть (с той же точностью, что и выше)

Излучаемую мощность найдем в виде

откуда после простых преобразований получим

Сравнивая с (104.2), найдем, что мощность излучения продольных волн в жидкость и в твердую среду (с той же скоростью продольных волн) одинакова при равных силах диполя, приложенных к среде со стороны. Если же сравнивать мощность излучения в твердую среду и в жидкость при одинаковых смещениях сфер одинаковых (малых) радиусов, то результаты получатся разные: излучение продольной волны в твердой среде оказывается

в ю ,и 42? /> раз больше, чем в жидкости: при данной ско-

рости движения требуемая сила в твердой среде гораздо больше, чем в жидкости.

Аналогичный расчет можно произвести и для «вмороженной» сферы. При этом условия на поверхности сферы имеют вид = = и cos 9, ые = -W sin 9, что дает, согласно первым двум формулам (152.6),

(2 - 2ia - а) -f 2А{ф - 1)еР = {ia - 1)е« + А{1 - ф - р2)еР,



откуда точное значение величины А получается в виде

3 - 3ia - 3 -Зф - р2

- = 151151 (152.11,

Переходя кТприближенным формулам для р <С 1, найдем для силы, действующей со стороны сферы на среду, снова ту же формулу (152.9). Подставляя во второе уравнение (152.6) величину (152.11), найдем и величину М:

Следовательно,

г - ра 2р2 + а2 У f 2р2 + а2 )

что дает коэффициент упругости, равный

,, 1-1 Igpcog" 1о „ ц(Я + 2ц) • 12яд(х

и - 2р2 + а2 2Я + 5}1 -2 + [(х/(Я + 2(х)]-

Наконец, находя тем же способом, что и выше, излучаемую мощность, обнаружим, что она выразится той же формулой (152.10). Но смещения сферы оказываются теперь другими: отношение смещений для скользящей и «вмороженной» сфер больше единицы и равно

2р2+а2 2Я + 5ц

Первый и второй члены в скобках выражения для излучаемой мощности (152.10) соответствуют излученным сдвиговым и продольнымволнам соответственно. Распределение мощности между этими типами волн определяется отношением /сдв/прод = = 2 {cilct) независимо от граничных условий на сфере. Большая часть энергии всегда идет в сдвиговые волны. В водоподобной среде {ctlci <С 1) отношение смещений для двух типов граничных условий равно приблизительно 3/2. Эффективные коэффициенты упругости для водоподобной среды оказываются для двух случаев равными 4яар и 6яал.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163


0.013