Главная Общая акустика - создание упругих волн



§ 23, Разложение Фурье волны с произвольной зависимостью от времени

Покажем, что при соблюдении известных условий, налагаемых на временную зависимость волны р (t, г), которые будем считать выполненными, можно представить волну в виду суперпозиции гармонических волн различных частот путем разложения по Фурье функции р. Эти условия таковы: если функция периодична по времени, то она разлагается в ряд Фурье; если функция не периодична, но достаточно быстро убывает при t--оо и -f со (например, является ограниченным по времени импульсом), то она разлагается в интеграл Фурье. Если спадание на бесконечности недостаточно быстрое, то разложение в интеграл Фурье неосуществимо. Будем пользоваться комплексным представлением волн.

Периодическая функция с периодом Т = 2n/tuo разлагается в ряд

Р {t, г) = Т р„ (г) е-""*, где р„ (г) = L (t, г) е""" dt.

Коэффициенты р„ (г), меняющиеся от точки к точке, - амплитуды спектра волны в каждой точке.

Непериодическая функция разлагается в интеграл

Pit, г)= J pJr)e-""d(o.

Р«(г) = \p{t, r)e*dt

Коэффициенты ра (г) называют спектральной плотностью амплитуды разложения. Элементы интеграла в области от -со до нуля - волны с отрицательными частотами. В этой области ра = pla-

Покажем, что каждое из гармонических слагаемых, т. е. член ряда р„ (г) e~< или элемент интеграла d© ра (г) ег">*, является волной, способной распространяться в данной среде. Математически это значит, что гармонические слагаемые должны каждое в отдельности удовлетворять уравнению (22.2).

Волна p{t, г) удовлетворяет по условию волновому уравнению

Ар--г-а<г = 0.

Гармоническую компоненту ряда или интеграла можно зависать, 70



опуская постоянный множитель, в виде

Р(0 =

считая, что для периодической функции b - а = Т, а частота для компоненты номера п есть па; для непериодической функции интеграл берется в бесконечных пределах (а = -сю, b = +сх)), а частота принимает все значения от -сю до +сх).

Умножим волновое уравнение на е" и проинтегрируем по времени в пределах от а до 6. В первом члене, меняя порядок интегрирования и дифференцирования, найдем

Во втором члене дважды произведем интегрирование по частям;

-1-е" to

at а

ре" -а?

pe•dt.

Но для периодической функции значения функции и ее производных на концах интервала длиной в один период равны между собой, поэтому первые два члена исчезают. Для непериодической функции эти члены исчезают потому, что по условию сама функция р исчезает на бесконечности. Следовательно,

le<Ut = ~./\pe<*di = -\oW

Отсюда получим, подставляя в проинтегрированное уравнение,

т. е. компоненты Фурье действительно удовлетворяют уравнению Гельмгольца, а значит, члены разложения данной волны действительно являются волнами, каждая из которых может распространяться независимо от других.

Доказанная теорема имеет важнейшее значение: она придает физический смысл разложению Фурье по времени. Эта математическая операция имеет смысл замены волны с произвольной временной зависимостью суперпозицией волн со стандартной зависимостью от времени - гармонической зависимостью,



Разложение Фурье имеет физический смысл не только для волн, удовлетворяющих волновому уравнению, но, как можно показать (см. § 26), и для волн в более сложных средах. Необходимо только, чтобы уравнение, которому удовлетворяет давление (или какая-либо иная характеристика волны), было линейным и однородным.

Помимо рассмотренных типов волн, возможны еще волны, которые неразложимы ни в ряд, ни в интеграл Фурье, но все же могут быть представлены в виде суперпозиции некоторого дискретного набора гармонических волн: это суммы гармонических волн несоизмеримых частот. Такие волны называют почти периодическими, потому что, как можно показать, любой отрезок такой волны повторяется со сколь угодно большой точностью через достаточно большой промежуток времени. Простейший пример почти периодической волны - биения между двумя волнами близких, но несоизмеримых частот. Аналитически почти перио- дическую волну можно записать в виде

Pit, г)= Sp„(r)e-V. где частоты а)„ несоизмеримы.

§ 24* Спектральные разложения волн

Разложение волн с любой зависимостью от времени на гармонические волны разных частот - это пример так называемого спектрального разложения: представления данной функции в виде линейной суперпозиции (ряда или интеграла) стандартного набора функций с более простыми свойствами. Если эти вспомогательные функции изучены, то исследование других функций сводится к определению коэффициентов в спектральном разложении. В акустике (и в других волновых науках) в качестве такого стандартного набора удобно пользоваться гармоническими функциями времени, представляя заданную волну в виде интерференционной картины гармонических волн разных частот. Спектральный подход освобождает нас от необходимости исследовать каждую волну со своей зависимостью от времени в отдельности: каждая звуковая волна оказывается представленной в виде суперпозиции гармонических функций, и рассмотрение временной зависимости оказывается упрощенным до предела.

Но поле гармонической волны зависит вообще от трех координат, и при одной и той же частоте зависимость от координат может быть самой разной. Возникает вопрос о возможности дальнейшего упрощения изучения волн: возможности представления произвольных гармонических по времени функций от координат также в виде суперпозиции некоторого набора гармонических волн (конечно, той же частоты), стандартно зависящих от координат, - вопрос о пространственном спектре гармонической волны.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0204