Главная Общая акустика - создание упругих волн



Ответ на этот вопрос зависит от акустической ситуации. Если известно поле данной гармонической волны на плоскости, то в качестве стандартного набора можно взять плоские гармонические волны (мы увидим в § 33, что это возможно только при некотором обобщении понятия плоских волн), если известно поле на сфере, то удобно производить разложение в спектр по набору так называемых сферических волн, и т. п. В данной главе рассмотрим разложение поля по плоским волнам. Для этого теперь изучим подробно плоские волны и их обобщения.

§ 25. Плоские гармонические волны

Произвольную плоскую волну можно разложить в спектр, Т. е. ее можно представить в виде суперпозиции плоских же гармонических волн (оговорки - те же, что и выше для спектрального разложения любой волны). Напишем в комплексной форме бегущую плоскую гармоническую волну. Как указано в § 17, выражение для плоской волны (в векторной записи) получается из выражения для временной зависимости в точке путем замены времени t на бином t- Sr, где S - вектор медленности волны. В гармонической волне временная зависимость дается множителем е-". Значит, бегущую плоскую гармоническую волну можно записать в виде

р = Ро ехр [-ш {t- Sr) I,

где Ро - постоянная (вообще-комплексная). Эту постоянную будем называть комплексной амплитудой плоской волны. Для гармонических волн удобно пользоваться вместо вектора медленности S пропорциональным ему волновым вектором к = aS. Плоская гармоническая волна записывается тогда в виде

р = Poexpi-mt + ikr), (25.1)

что можно считать комплексной записью формулы (18.4) при Ро - \Ро\- Фронты волны совпадают с плоскостями Агг = = const, перпендикулярными к к. Комплексная амплитуда колебания в какой-либо точке есть ро ехр (ikr) и равна амплитуде волны Ро (общей для всех точек), умноженной на фазовый множи-, тель ехр (ikr). Если в той или иной задаче амплитуда волны несущественна (например, при нахождении коэффициента отражения волны от препятствия), то амплитуду, как и временной множитель, опускают:

р = ехр (ikr). (25.2)

Для волны, бегущей, например, вдоль оси х вправо или влево,

р = ехр {±ikx). (25.3)

Для того чтобы вернуться к вещественной записи плоской волны, необходимо предварительно восстановить оба комплекс-



ных множителя, и Ро и e-« и лишь тогда брать веш,ественную часть от получившегося выражения:

р = Re [ро ехр (- Ш + ikr)\ = 1 Ро cos {Ы - кг - е). (25.4)

В плоской гармонической волне зависимость от координат в данный момент времени также является синусоидальной, как и временная зависимость в каждой данной точке. Фаза е комплексной амплитуды волны окажется существенной, только если придется иметь дело одновременно с несколькими волнами. Имея дело только с одной волной, всегда можно выбрать начало отсчета времени, например, так, чтобы амплитуда волны была вещественна (е = 0).

Скорость частиц в волне р = ехр (ikr), согласно (22.5), выражается формулой

= ехр(/и = 4. • (25.5)

Для плоской волны можно написать разложение Фурье, принимая за аргумент вместо времени линейную комбинацию t - Sr. Тогда спектр разложения не будет зависеть от координат. Разложение для волны, бегущей вдоль оси х, имеет вид

(п=+со /--S р„ехр(-incoot-\-inkox)

ДЛЯ периодической волны с периодом Т = 2я/<Во (при fe„ = cojc) и вид

p(t--= Ра ехр (- Ш--гкх)dxa

(при k = а/с) для непериодической волны, разложимой в интеграл Фурье по времени. Отсюда видно, что волна в каждый момент времени оказывается разложенной в спектр по координатам, т. е. представлена в виде суперпозиции синусоидальных пространственных распределений. Амплитуды спектров разложения р„ (или ри) не зависят ни от координат, ни от времени.

Кроме плоских волн, разложимых в ряд или в интеграл Фурье, возможны еще волны, хотя в таком виде и не представимые, но которые все же можно выразить в виде суперпозиции гармонических плоских волн. Такими волнами будут, в частности, волны вида

Р - = S Рл ехр (- iaj + iknX),

где р„-постоянные, величины (в„ несоизмеримы, а (oJkn = c для всех п.

Переходя к декартовой системе координат, в которой направляющие косинусы волнового вектора равны cos а, cos р, cos у.



получим из (25.2) координатное представление плоской гармонической волны:

р = ехр {ikcosa-x-\-ikcos-y-\-ikcosyz) -

= ехр {ikj,x + iky + ik), (25.6)

где проекции волнового вектора на оси координат kjc = k cos а, ky = k cos р, = k cos у равны волновым числам следов волны на координатных осях. Так как эти проекции меньше модуля волнового вектора, то медленность следов меньше, чем медленность волны, а скорость следов больше скорости волны.

На координатных плоскостях следы волны представляют собой двухмерные гармонические волны. Например, на плоскости Z = О бежит волна р = ехр [ikx + 1куу) с волновым числом

yki -\- 1у = ksmy, равным проекции волнового вектора к на плоскость 2 = 0. Скорость этого следа также больше скорости волны. Из уравнения (22.2) следует

+ 4 + = = «v. (25.7)

Каждая комбинация трех вещественных чисел к, ky, k, удовлетворяющих уравнению (25.7), соответствует плоской гармонической волне данной частоты, бегущей в направлении, определяемом направляющими косинусами

cos а = kjk, cos р = ky/k, cos у = kjk.

Часто располагают какую-либо координатную плоскость (например, плоскость xz) параллельно волновому вектору данной плоской волны. Тогда движение не зависит от третьей координаты (г/) и волну можно записать в виде р = ехр {ikx + ikz), где kx = k cos 6, = k sin 9. Угол 9 между волновым вектором и осью X называют углом скольжения данной волны относительно оси X или относительно плоскости ху.

Комплексная форма записи удобна не только для звуковых, но и для любых гармонических волн. Так, температурную волну (19.2) можно записать, опуская временной множитель, в виде

Т = Т,ехр{Ц-1х). (25.8)

Вязкая волна (19.4) запишется в виде

v= Vo ехр {il - l). (25.9)

§ 26. Сохранение формы бегущих гармонических плоских волн.; Дисперсионное уравнение

I В средах, подчиняющихся волновому уравнению, плоская волна любой формы распространяется без искажения. В других средах этим свойством обладают только гармонические плоские волны. Единственное условие, налагаемое при этом на среду, -



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0353