Главная Общая акустика - создание упругих волн



скорость звука увеличивается (аномальная дисперсия). Опыт показал, что такой дисперсией обладает также ряд жидкостей и многоатомные газы. «Область дисперсии», т. е. частотный диапазон, в котором зависимость упругости от частоты заметна, меняется в различных веществах от долей герца до тысяч мегагерц. Более подробно этот тип дисперсии рассмотрен в гл. XII.

Другой тип дисперсии обусловлен границами среды, в которой распространяется волна, и не зависит от свойств среды. Этот тип с поглощением звука не связан и целиком определяется кинематикой волнового движения в ограниченной среде. Такова, например, рассчитанная выше дисперсия скорости изгибных волн в стержне. Физическая картина дисперсии для изгибных волн заключается в том, что коэффициент упругости стержня растет при уменьшении длины изгибаемого участка; поэтому с уменьшением длины волны, т. е. с увеличением частоты, скорость волн растет. Дисперсия наблюдается и при распространении волн в жидких средах, заключенных в трубах, и т. д. Более подробно эти вопросы рассмотрены в гл. VIII.

§ 27. Групповая скорость. Распространение узкополосного сигнала

Монохроматическая волна не может передать никакой информации, никакого сигнала: в такой волне в каждой точке происходили, происходят и всегда будут неизменно происходить гармонические колебания. Чтобы передать сигнал при помощи волны, необходимо, чтобы в ней что-нибудь менялось, чтобы волна была модулирована тем или иным способом, например, чтобы она длилась ограниченный промежуток времени. Это уже не будет монохроматическая волна; такой сигнал можно рассматривать как интерференционную картину, образованную суперпозицией гармонических волн разных частот. Информацию передаст именно эта интерференционная картина.

Но в диспергирующей среде сама интерференционная картина меняется, так как компоненты разных длин волн распространяются с разной скоростью. Таким образом, в диспергирующей среде передаваемая информация оказывается искаженной.

Какова глубина этого искажения и в какой мере все-таки можно передавать сигнал в диспергирующей среде, можно выяснить при помощи фурье-представления волны.

Выясним раньше всего, как найти изменение данного профиля волны при ее распространении в среде с заданным законом дисперсии. Для этого достаточно выполнить следующие действия: разложим по Фурье данный, профиль на сумму синусоид различных длин волн и припишем каждой синусоиде временной множитель соответственно дисперсионному уравнению среды, как сказано в предыдущем параграфе. Каждая из полученных таким образом компонент - свободная гармоническая волна, фазовая скорость



которой может быть найдена из дисперсионного уравнения. За заданный промежуток времени каждая синусоида пробежит расстояние, пропорциональное ее скорости. Сложив эти синусоиды в их новом положении, получим новую форму профиля.

В отсутствие дисперсии весь набор гармоник просто сместится на одно и то же расстояние как одно целое, и в результате профиль волны также сдвинется на то же расстояние, сохранив свою форму. Но в диспергирующей среде смещения отдельных синусоид различны, так как различны их фазовые скорости. Синусоиды «расфа-зируются» друг с другом по мере распространения, и их суперпозиция по истечении некоторого времени даст уже новую интерференционную картину - новый профиль, другой формы, чем исходный. Сигнал, распространяясь, меняет свою форму. Поэтому понятие скорости к такому сигналу неприменимо.

Из сказанного ясна связь между возможностью передачи информации при помощи волны; и применимостью к волне понятия скорости.

Все же удается найти некоторый элемент интерференционной картины, который не меняется при распространении и при наличии дисперсии, если спектр сигнала достаточно узок, т. е. если длины волн (и частоты) компонент данной волны мало отличаются друг от друга. Этот элемент - огибающая интерференционной картины. Если спектр узкий то, как сейчас покажем, огибающая сигнала не меняет своей формы и перемещается с некоторой определенной скоростью, хотя сам сигнал внутри огибающей свою форму меняет.

Скорость огибающей называют групповой скоростью. Вводя групповую скорость, мы обобщаем понятие скорости для волн: сохраняет форму все же не волна, а только ее огибающая. Но это дает нам возможность отождествлять форму огибающей, подобно тому как в бездисперсионной среде мы могли отождествлять форму самой волны. И это снова дает нам возможность передавать информацию при помощи волн, даже в диспергирующих средах.

Итак, рассмотрим узкополосный сигнал - например «синусоиду с медленно меняющ,ейся амплитудой». Этот термин условен: амплитуда по определению-постоянная величина. Рис. 27.1 поясняет этот термин: на нем показана «моментальная фотография» участка интерференционной картины двух монохроматических волн близкой длины волны, бегущих в одну сторону. «Длина периода» получающихся пространственных биений («длина периода» огибающей) равна L = -jjzj* " 2 - близкие волновые числа компонент. На одной такой длине укладывается длин волн составляющих, что при близких ki ик -

большая величина. Огибающая биениц - квазипериодическая кривая.



Возможна волна в виде «синусоиды с переменной амплитудой», у которой огибающая - ограниченная в пространстве кривая, выделяющая некоторую «группу» или «цуг» волн (рис. 27.2). Спектр такой группы, даваемый интегралом Фурье исходной волны, как можно показать, обязательно сплошной. Чем уже спектр, тем длиннее цуг: имеет место соотношение L-Afe2n,


"tux

Рис. 27.1. Биения, их огибающая (тонкая линия) и их дискретный спектр - две близкие спектральные линии ki и ki.

где L -- длина цуга, - ширина спектра, т. е. длина интервала волновых чисел спектра, вне которого амплитуды спектра пренебрежимо малы. Это соотношение можно назвать принципом неопределенности в акустике: чем уже спектр, тем хуже локализована волна в среде, т. е. тем больший участок она занимает. Аналогичное соотношение неопределенностей имеет место и для временного спектра процессов: чем уже спектр, тем хуже временная локализация процесса, т. е. тем большее время он длится.

Найдем вначале групповую скорость для наглядного и наиболее простого случая биений между двумя монохроматическими волнами. Пусть составляющие имеют длины волн А. и А.2 и фазовые скорости Ci и Cg. Положим для определенности Ki> Х и Ci > Сг («нормальная дисперсия»). Чтобы найти скорость огибающей, применим «метод остановки движения» ко второй составляющей и найдем скорость огибающей по отношению к новой системе координат, движущейся относительно среды со скоростью с, складывая относительную скорость огибающей с Cg, получим искомую скорость огибающей относительно среды, т. е. групповую скорость и.

В новой системе координат вторая синусоида неподвижна, а первая движется относительно нее со скоростью с-с. На рис. 27.3 обе синусоиды изображены схематически, в виде решеток с шагом, равным соответственной длине волны. Будем следить за каким-либо определенным местом огибающей, например за местом совпадения каких-либо штрихов решеток. При движении первой решетки относительно второй место совпадения будет

Рис 27.2. Группа волн, ее огибающая и ее сплошной спектр.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0176