Главная Общая акустика - создание упругих волн



переходить с одного штриха на другой. Средняя скорость этого перемещения и есть скорость огибающей в новой системе координат. Так как для перемещения места совпадения с одного штриха на соседний (при выбранном соотношении между длинами волн и скоростями - на предыдущий штрих) первая волна должна пройти расстояние ki-к, то этот переход займет промежуток времени (Х- - A.2)/(ci - Cg); за это время место совпадения сместится в отрицательном направлении на расстояние К. Значит,

1-I-1-1-1-1-1-II-I-1-1-1-,-j- ».(;,.

. I t-l к 1 L it J i i. - 1 L -

Рис. 27.3. К вьшоду формулы для групповой скорости. «Гребенки» длин волн напоминают основную и нониусную шкалы иггангенциркуля.

скорость перемещения места совпадения штрихов, т. е. относительная скорость перемещения огибающей, равна-К-т~-I рупповая скорость равна, следовательно,

и = с,-К. (27.1)

Эта формула остается справедливой и при любом другом соотношении между длинами волн и скоростями составляющих волн.

Легко получить и другие формы записи этого соотношения:

Если разности волновых чисел и частот малы по сравнению с самими волновыми числами и частотами, то групповую скорость можно записать в виде

„ = с Я = с+*§=§. (27.3)

Из полученных формул видно, что групповая скорость совпадает с фазовой только в том случае, когда фазовая скорость не зависит от длины волны, т. е. в отсутствие дисперсии. При наличии дисперсии групповая скорость, как и фазовая, зависит от длины волны (или от частоты) составляющих. Как и фазовую скорость, групповую скорость в принципе можно найти из дисперсионного уравнения. Если дисперсионное уравнение дано в виде (26.5), то групповая скорость равна



Групповую скорость картины биений можно найти и расчетным способом. В самом деле, картина биений есть суперпозиция двух волн:

р = Pi ехр {-l&it Н- ikix) Н- Рг ехр (-teojf -f iktx).

Это выражение можно записать так: р = ехр (-+ ikix)[pi +

+ Ра ехр [-t (©2 - (Oi) t + i (ki - ki) x]\.

Если \k2-ki\<tki, TO выражение в фигурных скобках - медленно меняющаяся функция по сравнению с множителем за скобками. Волну ехр (-ш/ + ikiX) при такой записи картины биений называют несущей. Функцию

Pi + Р2 ехр l-i (©2 - (i>i) / + i {kz - kj) X] =

= Pi + Pa ехр li {ki - i) {x - ut)\

называют огибающей. Огибающая бежит без изменения со скоростью

и = (й - (fli)/(2- ki).

Изменение волны в целом можно представить себе как перемещение огибающей без изменения формы, происходящее с групповой скоростью, и перемещение несущей внутри огибающей, происходящее с фазовой скоростью. Относительно огибающей

фаза несущей бежит со скоростью с - и = X ~, При нормальной дисперсии эта скорость положительна, при аномальной дисперсии - отрицательна.

Групповую скорость для более сложного случая - суперпозиции произвольного числа монохроматических волн - можно найти аналогичным расчетом. Пусть

р = Pi ехр {-i(i>it + ikiX) + Pa ехр (-tcoa + ikzx) +

+ рз ехр {-idist + iksx) -f • •

и пусть длины волн составляющих настолько близки, что для любой пары волн номеров тип

\k - kn\-€.ki, (fl-(»„<С«1.

Представим данную суперпозицию в виде

р = ехр {-idiit + ikix) {pi + Pa ехр l-i (toj- ©i) t +

+i {ki - kj) x] + Рз exp[ -1((03 -(fli)/H-t {ka-k-i} x] -\----}

(27.5)



Учитывая условие близости частот и длин волн, имеем приближенно

Mj - Wj Wg - dw

ki - ky ~ ks - kj - •• - - «.

С этой степенью точности получим

р = ехр (-icait + ikix) [pi + р ехр И (kz - ki) (х - uf) 1+

+ рз ехр и {ks - ki) {х - ut)] + ••-].

И в этом случае огибающая суперпозиции волн (выражение в фигурных скобках) также распространяется/не изменяя своей формы, со скоростью и, в то время как несущая бежит внутри огибающей.

То же рассуждение годится и для суперпозиции не только дискретного, но и непрерывного множества монохроматических волн, т. е. для волны со сплошным спектром, при условии достаточно узкого спектра разложения волны в интеграл Фурье. «Моментальную фотографию» такой суперпозиции можно записать в виде

р {х) = ехр (to) / (х),

где / (д:) - огибающая, медленно меняющаяся по сравнению с экспоненциальным множителем и быстро спадающая за пределами «длины цуга»: спектр ее лежит в области волновых чисел, много меньших волнового числа ko несущей монохроматической волны, имеющей частоту ©о = koCo- Согласно сказанному выше распространение такой группы будет происходить по закону

р {X, О = ехр (-+ ikox) f {X - ut),

где и по-прежнему определяется формулами (27.3), в которых все величины берутся для значения несущей частоты ©е. Дифференцируя уравнение (26.6), получим

2ad(ii - A1dk= О,

откуда, пользуясь (26.7), найдем, что групповая скорость изгибных волн вдвое больше фазовой скорости волн этой же частоты:

Аналогично из (26.8) и (26.9) найдем, что групповая скорость гравитационных волн вдвое меньше фазовой скорости. В обоих примерах групповая скорость зависит от частоты (длины волны).

Важно отметить, что групповая скорость может сильно отличаться от фазовых скоростей всех монохроматических волн, входящих в состав спектра данного сигнала, несмотря на то, что



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0117